Exercício 9 Seja
e
. Considere
, definamos as operações:
(a) Nestas condições, mostre que
é um espaço vetorial sobre
.
(b) Resolva as equações
(i)
(ii)
(iii) $2 \odot(x \boxplus 2)=16
(b) Resolva as equações
(i)
(ii)
(iii) $2 \odot(x \boxplus 2)=16
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
e o campo
. Definimos duas operações:
O objetivo é mostrar que
é um espaço vetorial sobre
e, em seguida, resolver algumas equações envolvendo essas operações. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de espaço vetorial e como verificar seus axiomas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é realmente um espaço vetorial sobre
com as operações definidas. Um espaço vetorial deve satisfazer certos axiomas, como comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro, etc.
- Comutatividade da Adição (
): Precisamos ver se .
Como a multiplicação de números reais é comutativa, isso é verdadeiro.
- Associatividade da Adição (
): Verificamos se .
A multiplicação é associativa, então funciona.
- Existência do Elemento Neutro (
): Deve existir um elemento em tal que .
Portanto, o elemento neutro é
.
- Existência do Elemento Inverso (
): Para cada em , deve existir em tal que .
O inverso de
é
, que também está em
porque
.
- Distributividade da Escala sobre a Adição Vetorial:
Isso confirma a distributividade.
- Compatibilidade da Multiplicação Escalar:
A compatibilidade é satisfeita.
Como todas essas propriedades são atendidas, concluímos que
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 3
Agora, vamos resolver as equações da parte (b).
Equação (i):
Aqui, a operação
está definida como
. Então:
Para encontrar
:
Portanto,
.
Passo 4
Equação (ii):
A operação
é definida como multiplicação comum:
Resolvendo para
:
Então,
.
Passo 5
Equação (iii):
Primeiro, resolvemos a operação
:
Agora, aplicamos a operação
:
Então:
Portanto,
.
Resposta
(a)
é um espaço vetorial sobre
.
(b) As soluções são: