Exercício 9 Seja V=(0, infty) e F=R. Considere alpha in F, u, v in V, definamos as operações:
u boxplus v=u cdot v e alpha odot u=u^alpha
(a) Nestas condições, mostre que V é um espaço vetorial sobre F.
(b) Resolva as equações
(i) 2 odot x=4
(ii) x boxplus 2=10
(iii) $2 \odot(x \boxplus 2)=16

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos o conjunto V = (0, infty) e o campo F = R . Definimos duas operações:
u boxplus v = u cdot v e alpha odot u = u^alpha
O objetivo é mostrar que V é um espaço vetorial sobre F e, em seguida, resolver algumas equações envolvendo essas operações. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de espaço vetorial e como verificar seus axiomas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se V é realmente um espaço vetorial sobre F com as operações definidas. Um espaço vetorial deve satisfazer certos axiomas, como comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro, etc.
  1. Comutatividade da Adição ( boxplus ): Precisamos ver se u boxplus v = v boxplus u .
u cdot v = v cdot u
Como a multiplicação de números reais é comutativa, isso é verdadeiro.
  1. Associatividade da Adição ( boxplus ): Verificamos se u boxplus (v boxplus w) = (u boxplus v) boxplus w .
u cdot (v cdot w) = (u cdot v) cdot w
A multiplicação é associativa, então funciona.
  1. Existência do Elemento Neutro ( 0 ): Deve existir um elemento 0V em V tal que u boxplus 0V = u .
u cdot 1 = u
Portanto, o elemento neutro é 1 .
  1. Existência do Elemento Inverso ( -u ): Para cada u em V , deve existir -u em V tal que u boxplus (-u) = 0V .
u cdot 1u = 1
O inverso de u é 1u , que também está em V porque u > 0 .
  1. Distributividade da Escala sobre a Adição Vetorial:
alpha odot (u boxplus v) = (u cdot v)^alpha = u^alpha cdot v^alpha = (alpha odot u) boxplus (alpha odot v)
Isso confirma a distributividade.
  1. Compatibilidade da Multiplicação Escalar:
alpha odot (beta odot u) = u^alpha cdot beta = (alpha cdot beta) odot u
A compatibilidade é satisfeita.
Como todas essas propriedades são atendidas, concluímos que V é um espaço vetorial sobre F .

Passo 3

Agora, vamos resolver as equações da parte (b).
Equação (i): 2 odot x = 4
Aqui, a operação odot está definida como alpha odot u = u^alpha . Então:
2 odot x = x^2 = 4
Para encontrar x :
x^2 = 4 implies x = raiz4 = 2
Portanto, x = 2 .

Passo 4

Equação (ii): x boxplus 2 = 10
A operação boxplus é definida como multiplicação comum:
x cdot 2 = 10
Resolvendo para x :
x = 102 = 5
Então, x = 5 .

Passo 5

Equação (iii): 2 odot (x boxplus 2) = 16
Primeiro, resolvemos a operação boxplus :
x boxplus 2 = x cdot 2
Agora, aplicamos a operação odot :
2 odot (x cdot 2) = (x cdot 2)^2 = 16
Então:
(x cdot 2)^2 = 16 implies x cdot 2 = raiz16 = 4 implies x = 42 = 2
Portanto, x = 2 .

Resposta

(a) V é um espaço vetorial sobre F .
(b) As soluções são:
(i) x = 2, (ii) x = 5, (iii) x = 2

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