Exercício 16. (D.K. ex. 12.4) (Fórmula de Green e o Problema de Dirichlet) Suponha que é uma solução fundamental do operador de Laplace e considere uma função harmônica definida num aberto de . Seja um aberto de tal que seja um compacto contido em . Prove que é uma distribuição em cujo suporte está contido em . Prove também que e que .
Agora assuma que a fronteira é de classe e denote a normal exterior ao bordo no ponto por . Para uma função definida numa vizinhança de , a derivada normal de de é definida como
A função acima é contínua em . Prove agora a fórmula de Green:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, tomando uma solução fundamental de em e uma função harmônica em , o objeto
é uma distribuição suportada em , que (isto é, tem suporte compacto) e que
em . Em seguida, quando for , devemos usar a definição da derivada normal e aplicar fórmulas de integração por partes (a “fórmula de Green”) para obter
Os conteúdos principais são: (i) distribuições obtidas por derivadas de função localmente integrável, (ii) propriedades de suporte, (iii) convolução com solução fundamental e (iv) identidade de Green em domínio de classe .
Passo 2
Mostramos que é uma distribuição de suporte contido em . . Como é em e é localmente constante em , a função é longe de . Logo fora de . . Por definição é distribuição (pois toda derivada de ordem dois de uma função localmente integrável é distribuição). . Concluímos que .
Passo 3
Mostramos que , i.e.\ tem suporte compacto em .
Como é compacto, partial Usubset U também é compacto e, portanto, supp vsubset partial U é compacto. Isso implica vin E'(Omega).
Passo 4
Usamos que é solução fundamental de , ou seja . Como , a convolução está bem definida em e satisfaz
Mas então, pela propriedade de inversão de em distribuições de suporte compacto, obtemos
Passo 5
Para obter a fórmula de Green, avaliamos u(x)=(E*v)(x) para xin U via a ação de v em phi(y)=E(x-y):
u(x) ,=; (E*v)(x) ,=; vl(,ymapsto E(x-y)r)
Por definição de v=De<a(u,chiU) e integração por partes (identidade de Green em U), temos para qualquer phiin Cc^infty(Omega):