Exercício 16. (D.K. ex. 12.4) (Fórmula de Green e o Problema de Dirichlet) Suponha que E in D^prime(R^n) é uma solução fundamental do operador de Laplace De<a e considere uma função harmônica u definida num aberto Omega de R^n. Seja U um aberto de Omega tal que barU seja um compacto contido em Omega. Prove que v:=De<a(u chiU) é uma distribuição em Omega cujo suporte está contido em partial U. Prove também que v in E^prime(Omega) e que uchiU=E * v.
Agora assuma que a fronteira partial U é de classe C^1 e denote a normal exterior ao bordo no ponto y in partial U por nu(y). Para uma função f definida numa vizinhança de partial U, a derivada normal de partialnu f de f é definida como
partialnu f=sumj=1^n nuj(y) partialj f(y), y in partial U
A função acima é contínua em partial U. Prove agora a fórmula de Green:
u(x)=integralpartial U(u(y) partialnu(y mapsto E(x-y))-E(x-y) partialnu u(y)) d y, forall x in U

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, tomando uma solução fundamental de em e uma função harmônica em , o objeto
é uma distribuição suportada em , que (isto é, tem suporte compacto) e que
em . Em seguida, quando for , devemos usar a definição da derivada normal e aplicar fórmulas de integração por partes (a “fórmula de Green”) para obter
Os conteúdos principais são: (i) distribuições obtidas por derivadas de função localmente integrável, (ii) propriedades de suporte, (iii) convolução com solução fundamental e (iv) identidade de Green em domínio de classe .

Passo 2

Mostramos que é uma distribuição de suporte contido em .
. Como é em e é localmente constante em , a função é longe de . Logo fora de .
. Por definição é distribuição (pois toda derivada de ordem dois de uma função localmente integrável é distribuição).
. Concluímos que .

Passo 3

Mostramos que vin E'(Omega), i.e.\ tem suporte compacto em Omega.
Como Usubset Omega é compacto, partial Usubset U também é compacto e, portanto, supp vsubset partial U é compacto. Isso implica vin E'(Omega).

Passo 4

Usamos que é solução fundamental de , ou seja . Como , a convolução está bem definida em e satisfaz
Mas então, pela propriedade de inversão de em distribuições de suporte compacto, obtemos

Passo 5

Para obter a fórmula de Green, avaliamos u(x)=(E*v)(x) para xin U via a ação de v em phi(y)=E(x-y):
u(x) ,=; (E*v)(x) ,=; vl(,ymapsto E(x-y)r)
Por definição de v=De<a(u,chiU) e integração por partes (identidade de Green em U), temos para qualquer phiin Cc^infty(Omega):
v(phi) =integralU u(y),De<aphi(y),dy =integralpartial U!l(u(y),partialnuphi(y)-phi(y),partialnu u(y)r),dy
porque De<a u=0 em U. Tomando phi(y)=E(x-y), notamos que partialnuphi(y)=partialnu^y E(x-y). Logo
u(x) =integralpartial Ul(u(y),partialnu^y E(x-y) ;-;E(x-y),partialnuu(y)r),dy,
para todo xin U, que é exatamente a fórmula de Green desejada.

Resposta

u(x) =integralpartial U!l(u(y),partialnu^y E(x-y) ;-;E(x-y),partialnuu(y)r),dy, forall xin U

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