Sejam x, y, z e t escalares. Se u e v são vetores ortogonais e unitários, mostre que x u+y v perp z u+t v se, e somente se, x z+y t=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas combinações lineares de dois vetores ortonormais u e v,
w1 = x,u + y,v e w2 = z,u + t,v,
temos w1perp w2 se, e somente se, x,z + y,t = 0.
O conteúdo que vamos usar é a definição de produto interno em R^n, sua linearidade e o fato de u e v serem ortogonais e unitários:
ucdot u = 1, vcdot v = 1, ucdot v = 0

Passo 2

Calculemos o produto interno
w1cdot w2 = (x,u + y,v)cdot(z,u + t,v)
Pela bilinearidade do produto interno,
w1cdot w2 = x,z,(ucdot u) + x,t,(ucdot v) + y,z,(vcdot u) + y,t,(vcdot v)
Usando ucdot u=1, vcdot v=1 e ucdot v=vcdot u=0, vem
w1cdot w2 = x,z + y,t

Passo 3

Pela definição de ortogonalidade, w1perp w2 exatamente quando w1cdot w2=0. Portanto
w1perp w2 Long<=ftrightarrow x,z + y,t = 0

Resposta

Mostrou-se que (x,u + y,v)perp(z,u + t,v) se, e somente se,
x,z + y,t = 0

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