Sejam
e
escalares. Se
e
são vetores ortogonais e unitários, mostre que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas combinações lineares de dois vetores ortonormais
e
,
temos
se, e somente se,
.
O conteúdo que vamos usar é a definição de produto interno em , sua linearidade e o fato de
e
serem ortogonais e unitários:
O conteúdo que vamos usar é a definição de produto interno em
Passo 2
Calculemos o produto interno
Pela bilinearidade do produto interno,
Usando
,
e
, vem
Passo 3
Pela definição de ortogonalidade,
exatamente quando
. Portanto
Resposta
Mostrou-se que
se, e somente se,