Exercício 3.10.10. Determinar por quais valores do parâmetro real k a matriz
A=(ccc 5 & 3 k-2 & 2 k^2 & 3 & k^2+4 2 & 4 k & 0 )
è simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de k que tornam a matriz\r
A= 5 & 3k-2 & 2 k^2 & 3 & k^2+4 2 & 4k & 0 \r
simétrica. Uma matriz A é simétrica quando A = A^T, ou seja, cada entrada aij deve ser igual a aji. Vamos usar isso para montar as equações em k.

Passo 2

Comparar a posição (1,2) com a (2,1). Temos\r
a12=3k-2, a21=k^2 \r
A condição de simetria dá\r
3k-2 = k^2

Passo 3

Resolvendo
k^2 - 3k + 2 = 0
fatoramos:
(k-1)(k-2)=0
Logo
k=1 ou k=2

Passo 4

Comparar a posição (2,3) com a (3,2). Temos
a23=k^2+4, a32=4k
A condição de simetria dá
k^2+4 = 4k

Passo 5

Resolvendo
k^2 - 4k + 4 = 0
isso é
(k-2)^2=0
Portanto
k=2

Passo 6

Para a matriz ser simétrica, k deve satisfazer ambas as condições simultaneamente. A primeira deu 1,2 e a segunda deu 2. A interseção é\r
2

Resposta

O único valor de k que torna A simétrica é k=2.

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