Exercício 10. Determine b\) para que a função \(f\) seja contínua em toda a reta real: \(f(x)= \begin{cases}b x+1, & \text { se } x<3, \\\ b x^{2}-1, & \text { se } x \geq 3 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá uma função em duas partes
f(x)= \begin{cases} b x+1, & \text{se }x<3,\\\ b x^{2}-1, & \text{se }x\ge3, \end{cases}
e pede que ela seja contínua em toda reta real. Como cada trecho é polinomial, só precisamos garantir continuidade em x=3, ou seja,
\lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to3^+}f(x)=f(3).

Passo 2

Calculamos o limite à esquerda em x=3 usando o ramo b x+1:
\lim_{x\to3^-}f(x) =\lim_{x\to3^-}(b x+1) =b\cdot3+1.

Passo 3

Calculamos o limite à direita em x=3 usando o ramo b x^{2}-1:
\lim_{x\to3^+}f(x) =\lim_{x\to3^+}(b x^{2}-1) =b\cdot3^{2}-1 =9b-1.
Além disso, para x=3 a função vale
f(3)=b\cdot3^{2}-1=9b-1.

Passo 4

Para continuidade em x=3 é necessário
\lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to3^+}f(x),
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3b+1=9b-1.
Resolvendo para b:
3b+1=9b-1 \implies 1+1=9b-3b \implies 2=6b \implies b=\tfrac{1}{3}.

Resposta

O valor de b que torna f contínua em toda reta real é
b=\tfrac{1}{3}.

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