Exercício 10. Determine b\) para que a função \(f\) seja contínua em toda a reta real: \(f(x)= \begin{cases}3 x+b, & \text { se } x \leq 4, \\\ \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}, & \text { se } x>4 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} 3x + b, & x \le 4,\\\ \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}, & x>4, \end{cases}
e pede o valor de b que faz f contínua em toda reta real. O ponto crítico é x=4, onde devemos usar a definição de continuidade e calcular limites laterais.

Passo 2

Calculamos o limite pela direita em x=4:
\lim_{x\to4^+}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}.
Como obtemos 0/0, fatoramos
\sqrt{x}-2 = \frac{x-4}{\sqrt{x}+2},
portanto
\frac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \frac{1}{\sqrt{x}+2},
e assim
\lim_{x\to4^+}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}.

Passo 3

Para continuidade em x=4 precisamos
f(4)=\lim_{x\to4^+}f(x).
Como f(4) é dado pelo ramo 3x+b, temos
f(4)=3\cdot4 + b = 12 + b
e igualamos a \tfrac14:
12 + b = \frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{1}{4} - 12 = -\frac{47}{4}.

Resposta

b = -\tfrac{47}{4}

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