Exercício 1.13 Esboce a curva de nivel f(x, y)=C, para cada C dada
(d) f(x, y)=\frac{x}{y}, C=2, C=4.

Passo 1

O enunciado pede que esbocemos as curvas de nível da função
f(x,y)=\frac{x}{y}
para os valores C=2 e C=4. O método é resolver
\frac{x}{y}=C
e interpretar geometricamente o resultado.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados de
\frac{x}{y}=C
por y (com y\neq0), obtemos
x = C\,y.

Passo 3

A equação
x = C\,y
é a de uma reta que passa pela origem. Para visualizar a inclinação, isolamos y:
y = \frac{1}{C}\,x.

Passo 4

Aplicando C=2, a reta de nível é
x = 2y,\nequivalentemente
y = \frac{x}{2}.
Para C=4, a reta de nível é
x = 4y,
ou seja
y = \frac{x}{4}.

Passo 5

Como y\neq0 (a função não está definida em y=0), desenhamos no plano xy duas retas passando pela origem, removendo apenas o ponto (0,0).

Resposta

Para C=2: reta \displaystyle x=2y (ou y=\tfrac{x}{2}).
Para C=4: reta \displaystyle x=4y (ou y=\tfrac{x}{4}).

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