Exercício 10. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, calcule todos os limites necessários e esboce o gráfico de f (no item (c) use L’Hôpital para calcular \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) ), onde
f(x)=x+\frac{2}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente analise a função
f(x)=x+\frac{2}{x^{2}}
nos itens:
– determinar os intervalos de crescimento e decrescimento (para isso vamos precisar do domínio, da derivada e do sinal dela);
– calcular todos os limites essenciais ( x\to0^+, x\to0^-, x\to\pm\infty);
– usar L’Hôpital para encontrar \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x);
– esboçar o gráfico de f.

Passo 2

Primeiro, o domínio de f é
\mathcal D = (-\infty,0)\cup(0,\infty),
pois x=0 tornaria o termo 2/x^2 indefinido.
Agora vamos à derivada. Escrevendo
f(x)=x+2x^{-2},
temos
f'(x)=1 -4x^{-3} =1 -\frac{4}{x^3} =\frac{x^3-4}{x^3}.

Passo 3

Para achar pontos críticos, igualamos f'(x)=0:
\frac{x^3-4}{x^3}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^3=4 \quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt[3]{4}\;(\approx1,587).
Analisando o sinal de f'(x):
  • Em x<0: x^3<0 e x^3-4<0, logo numerador e denominador são negativos, de modo que f'(x)>0.
  • Em 0<x<\sqrt[3]{4}: x^3>0 mas x^3-4<0, então f'(x)<0.
  • Em x>\sqrt[3]{4}: x^3>0 e x^3-4>0, então f'(x)>0.
Portanto
f é crescente em (-\infty,0) e em \bigl(\sqrt[3]{4},\infty\bigr),
f é decrescente em \bigl(0,\sqrt[3]{4}\bigr).

Passo 4

Vamos calcular os limites nos extremos do domínio:
  1. \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x). Como o termo dominante é x, temos
\lim_{x\to-\infty}\Bigl(x+\frac{2}{x^2}\Bigr) =-\infty.
  1. \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) =\infty.
  2. \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x). Quando x\to0^-, 2/x^2\to+\infty e x\to0, então
\lim_{x\to0^-}f(x)=+\infty.
  1. \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x) é do tipo 0 + (+\infty), logo \;+\infty.

Passo 5

Para usar L’Hôpital em \lim_{x\to0^+}f(x), escrevemos
f(x) =\frac{x^3+2}{x^2}.
Ao tomar x\to0^+, o numerador tende a 2 (constante) e o denominador a 0^+, isto não é um caso direto de 0/0 nem \infty/\infty. Para aplicar L’Hôpital, consideramos seu recíproco:
\frac{1}{f(x)} =\frac{x^2}{x^3+2}.
Agora ao x\to0^+ temos 0/2, um caso 0/(\text{constante}), logo
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{f(x)}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty.

Passo 6

No ponto crítico x=\sqrt[3]{4} a gente computa o valor de f:
f\bigl(\sqrt[3]{4}\bigr) =\sqrt[3]{4}+\frac{2}{\bigl(\sqrt[3]{4}\bigr)^{2}} =\sqrt[3]{4}+\frac{2}{4^{2/3}} =2^{2/3}+2^{-1/3} =\frac{3}{2^{1/3}}.
Esse ponto é um mínimo local (já que f' muda de sinal de - para +).

Passo 7

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Há uma assíntota vertical em x=0, pois f(x)\to+\infty dos dois lados.
  • No ramo x<0, f cresce de -\infty (quando x\to-\infty) até +\infty (quando x\to0^-).
  • No ramo x>0, f desce de +\infty (em x\to0^+) até o mínimo \bigl(\sqrt[3]{4},\,3/2^{1/3}\bigr), e depois cresce novamente para +\infty quando x\to+\infty.
Gráfico esquemático (vertical em x=0; mínimo em x\approx1{,}587, y\approx2{,}38):
  y
  ↑
+∞ | /\ ramo direito
| / \ mínimo
|/ \
| \
| \
|
|
|
0 —+——+——+——+——+→ x
- 0 1.6 +∞
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
V ramo esquerdo

Resposta

Intervalos de crescimento: (-\infty,0) e \bigl(\sqrt[3]{4},\infty\bigr).
Intervalo de decrescimento: \bigl(0,\sqrt[3]{4}\bigr).
Limites:
\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to0^-}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty.
Gráfico: ramo esquerdo cresce de -\infty a +\infty em x=0; ramo direito decresce de +\infty até o mínimo em \bigl(\sqrt[3]{4},3/2^{1/3}\bigr) e depois cresce para +\infty.

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