Exercício 10. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, calcule todos os limites necessários e esboce o gráfico de
(no item (c) use L’Hôpital para calcular
), onde
Passo 1
O enunciado pede que a gente analise a função
nos itens:
– determinar os intervalos de crescimento e decrescimento (para isso vamos precisar do domínio, da derivada e do sinal dela);
– calcular todos os limites essenciais ( ,
,
);
– usar L’Hôpital para encontrar ;
– esboçar o gráfico de .
– determinar os intervalos de crescimento e decrescimento (para isso vamos precisar do domínio, da derivada e do sinal dela);
– calcular todos os limites essenciais (
– usar L’Hôpital para encontrar
– esboçar o gráfico de
Passo 2
Primeiro, o domínio de
é
pois
tornaria o termo
indefinido.
Agora vamos à derivada. Escrevendo
Agora vamos à derivada. Escrevendo
temos
Passo 3
Para achar pontos críticos, igualamos
:
Analisando o sinal de
:
- Em
: e , logo numerador e denominador são negativos, de modo que . - Em
: mas , então . - Em
: e , então .
Portanto
– é crescente em
e em
,
– é decrescente em
.
–
–
Passo 4
Vamos calcular os limites nos extremos do domínio:
-
. Como o termo dominante é , temos
-
-
. Quando , e , então
-
é do tipo , logo .
Passo 5
Para usar L’Hôpital em
, escrevemos
Ao tomar
, o numerador tende a
(constante) e o denominador a
, isto não é um caso direto de
nem
. Para aplicar L’Hôpital, consideramos seu recíproco:
Agora ao
temos
, um caso
, logo
Passo 6
No ponto crítico
a gente computa o valor de
:
Esse ponto é um mínimo local (já que
muda de sinal de
para
).
Passo 7
Esboço qualitativo do gráfico:
- Há uma assíntota vertical em
, pois dos dois lados. - No ramo
, cresce de (quando ) até (quando ). - No ramo
, desce de (em ) até o mínimo , e depois cresce novamente para quando .
Gráfico esquemático (vertical em
; mínimo em
,
):
y
↑
+∞ | /\ ramo direito
| / \ mínimo
|/ \
| \
| \
|
|
|
0 —+——+——+——+——+→ x
- 0 1.6 +∞
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
V ramo esquerdo
| / \ mínimo
|/ \
| \
| \
|
|
|
0 —+——+——+——+——+→ x
- 0 1.6 +∞
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
V ramo esquerdo
Resposta
Intervalos de crescimento:
e
.
Intervalo de decrescimento: .
Intervalo de decrescimento:
Limites:
Gráfico: ramo esquerdo cresce de
a
em
; ramo direito decresce de
até o mínimo em
e depois cresce para
.