Exercício 9. Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça:
contínua,
em
e
em
, não existem
e
em
e
em
.
Passo 1
O enunciado pede um esboço qualitativo de uma função
contínua que satisfaz:
além de condições sobre a derivada
(monotonicidade e pontos críticos em
) e sobre a segunda derivada
(concavidade em certos intervalos). Vamos usar essas informações para montar pedaço a pedaço o formato do gráfico.
Passo 2
Analisando
:
- Em
temos , logo é estritamente decrescente até . - Não existe
, então o gráfico pode ter um canto em . - Em
continua , segue decrescente até . - Em
temos , isto é, ponto crítico (possível mínimo). - Em
temos , aumenta até . - Não existe
, possível canto em . - Em
volta , decresce para a direita.
Passo 3
Analisando
:
- Em
temos , é convexa até . - Em
temos , concava até . - Em
temos , volta convexa de até . - Em
ainda , continua convexa.
Passo 4
Combinando monotonicidade, concavidade e pontos dados:
- No trecho
: decrescente e convexa, passa por e chega em com inclinação zero. - Em
: decrescente e côncava, desce de até formando um canto em . - Em
: continua decrescendo e agora convexa, vai de até o mínimo em com inclinação zero. - Em
: crescente e convexa, sobe de até , formando outro canto em . - Para
: decrescente e convexa, sai de para baixo.
Passo 5
Esboce eixos
e
, marque os pontos-chave
,
,
,
,
. Una-os conforme a curvatura definida:
- Antes de
: curva convexo para baixo e decrescente até inclinar-se horizontalmente em . - De
a : curva côncava para baixo, descendo até o canto em . - De
a : curva convexa para cima, descendo até o mínimo em . - De
a : convexa e crescente, voltando a zero em com canto. - Após
: convexa e decrescente.
Resposta
O esboço qualitativo de
apresenta um ponto de inflexão em
, cantos em
e
, um mínimo em
e segue as monotonicidades e concavidades especificadas.