Exercício 9. Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça:
f contínua, f(0)=2, f(2)=1, f(4)=f(10)=0, f(6)=-4, f^{\prime}(2)=f^{\prime}(6)=0, f^{\prime}(x)<0 em (-\infty, 4),(4,6) e (10, \infty), f^{\prime}(x)>0 em (6,10), não existem f^{\prime}(4) e f^{\prime}(10), f^{\prime \prime}(x)>0 em (-\infty, 2),(4,10) e (10, \infty), f^{\prime \prime}(x)<0 em (2,4).

Passo 1

O enunciado pede um esboço qualitativo de uma função f contínua que satisfaz:
f(0)=2,\quad f(2)=1,\quad f(4)=0,\quad f(6)=-4,\quad f(10)=0
além de condições sobre a derivada f' (monotonicidade e pontos críticos em x=2,4,6,10) e sobre a segunda derivada f'' (concavidade em certos intervalos). Vamos usar essas informações para montar pedaço a pedaço o formato do gráfico.

Passo 2

Analisando f':
  • Em (-\infty,4) temos f'(x)<0, logo f é estritamente decrescente até x=4.
  • Não existe f'(4), então o gráfico pode ter um canto em x=4.
  • Em (4,6) continua f'(x)<0, segue decrescente até x=6.
  • Em x=6 temos f'(6)=0, isto é, ponto crítico (possível mínimo).
  • Em (6,10) temos f'(x)>0, aumenta até x=10.
  • Não existe f'(10), possível canto em x=10.
  • Em (10,\infty) volta f'(x)<0, decresce para a direita.

Passo 3

Analisando f'':
  • Em (-\infty,2) temos f''(x)>0, f é convexa até x=2.
  • Em (2,4) temos f''(x)<0, concava até x=4.
  • Em (4,10) temos f''(x)>0, volta convexa de x=4 até x=10.
  • Em (10,\infty) ainda f''(x)>0, continua convexa.

Passo 4

Combinando monotonicidade, concavidade e pontos dados:
  • No trecho (-\infty,2]: decrescente e convexa, passa por (0,2) e chega em (2,1) com inclinação zero.
  • Em [2,4]: decrescente e côncava, desce de (2,1) até (4,0) formando um canto em x=4.
  • Em [4,6]: continua decrescendo e agora convexa, vai de (4,0) até o mínimo em (6,-4) com inclinação zero.
  • Em [6,10]: crescente e convexa, sobe de (6,-4) até (10,0), formando outro canto em x=10.
  • Para x>10: decrescente e convexa, sai de (10,0) para baixo.

Passo 5

Esboce eixos x e y, marque os pontos-chave (0,2), (2,1), (4,0), (6,-4), (10,0). Una-os conforme a curvatura definida:
  • Antes de x=2: curva convexo para baixo e decrescente até inclinar-se horizontalmente em x=2.
  • De 2 a 4: curva côncava para baixo, descendo até o canto em x=4.
  • De 4 a 6: curva convexa para cima, descendo até o mínimo em 6.
  • De 6 a 10: convexa e crescente, voltando a zero em x=10 com canto.
  • Após 10: convexa e decrescente.

Resposta

O esboço qualitativo de f apresenta um ponto de inflexão em x=2, cantos em x=4 e x=10, um mínimo em (6,-4) e segue as monotonicidades e concavidades especificadas.

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