Exercício 11. Para cada uma das funções abaixo
  • determine Dom (f);
  • determine os pontos onde f intercepta o eixo x e o eixo y.
  • determine os pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento;
  • determine os candidatos a pontos de inflexão e estude a concavidade e pontos de inflexão;
  • faça uma tabela com sinais de f^{\prime} e f^{\prime \prime}, que justifiquem onde estão os máximos, mínimos e pontos de inflexão.
  • determine se existem assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas;
  • esboce o gráfico;
    (a) f(x)=x \ln x
    (b) f(x)=\frac{x^{3}}{1+x^{2}}
    (c) f(x)=x e^{-2 x}
  • No item (a) use L’Hôptial para calcular \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x);
  • No item (x) use L’Hôptial para calcular \lim _{x \rightarrow \infty} f(x);

Passo 1

O enunciado pede a análise completa de três funções: domínio, interceptos, extremos, concavidade, pontos de inflexão, sinais de f' e f'', assíntotas e esboço do gráfico, usando L’Hôpital em certos limites. O conteúdo envolve derivadas de primeira e segunda ordem, estudo de limites, monotonicidade, concavidade e assíntotas.

Passo 2

Análise de f(x)=x\ln x
Domínio: como \ln x está definido só para x>0,
\Dom(f)=(0,\infty).

Passo 3

Interceptos:
– Eixo x: resolvemos
x\ln x=0\quad\Longrightarrow\quad \ln x=0\quad\Longrightarrow\quad x=1.
Então intercepto em (1,0).
– Eixo y: seria em x=0, mas 0\notin\Dom(f), logo não há intercepto no eixo y.

Passo 4

Limite em 0^+ usando L’Hôpital:
\lim_{x\to0^+} x \ln x \;\stackrel{0\cdot(-\infty)}=\; \lim_{x\to0^+} \frac{\ln x}{1/x} \;\xrightarrow[\text{L'Hôpital}]{\frac{-1/x}{-1/x^2}} \;\lim_{x\to0^+} x =0.ô

Passo 5

Derivada primeira e monotonicidade:
f'(x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac1x=\ln x+1.
Zeramos f'(x)=0 para achar candidatos a extremo:
\ln x+1=0\;\Longrightarrow\;x=e^{-1}.
Para montar o sinal de f':
– Em (0,e^{-1}): \ln x<-1\implies f'<0.
– Em (e^{-1},\infty): \ln x>-1\implies f'>0.
Logo f decresce em (0,e^{-1}) e cresce em (e^{-1},\infty), com mínimo em
x=e^{-1},\quad f(e^{-1})=e^{-1}\ln(e^{-1})=-e^{-1}.

Passo 6

Derivada segunda e concavidade:
f''(x)=\frac{d}{dx}(\ln x+1)=\frac1x.
Como \tfrac1x>0 para todo x>0, f é côncava para cima em todo o domínio e não há pontos de inflexão.

Passo 7

Assíntotas:
– Verticais: não há, pois o domínio é (0,\infty) e não há singularidade interna.
– Horizontais/oblíquas em +\infty:
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\infty}\ln x=+\infty,
logo não há assíntota horizontal. Para assíntota oblíqua y=mx+b calcularíamos
m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=+\infty,
não dá reta. Em 0^+ já vimos f(x)\to0, sem reta oblíqua.

Passo 8

Tabela de sinais para f' e f'':
\begin{array}{c|ccccc} x & 0^+ & & e^{-1} & & +\infty\\hline f'(x)=\ln x+1 & & – & 0 & + & \\\ f''(x)=1/x & & + & + & + & \end{array}
Isso confirma mínimo em x=e^{-1} e concavidade sempre côncava para cima.

Passo 9

Esboço do gráfico de f(x)=x\ln x:
– Vai a 0 em x\to0^+, tem mínimo em \bigl(e^{-1},-e^{-1}\bigr), cresce passando por (1,0) para +\infty. É sempre côncavo para cima.

Passo 10

Resumo dos resultados para (a):
\Dom(f)=(0,\infty), intercepto em (1,0), \lim_{x\to0^+}f(x)=0, mínimo em \bigl(e^{-1},-e^{-1}\bigr), sem inflexão, sem assíntotas.

Passo 11

Resultados finais dos itens (b) e (c) (sem detalhar cada passo, mas seguindo a mesma rotina):
(b) f(x)=\tfrac{x^{3}}{1+x^{2}}
\Dom=\R\setminus\{\,i\,\} na prática real \Dom=\R.
– Interceptos em (0,0).
f'(x)=\tfrac{x^{2}(3+ x^{2})}{(1+x^{2})^{2}} muda de sinal em x=0: mínimo em 0.
f'' muda sinal em x=\pm1: pontos de inflexão em \pm1.
– Assíntota oblíqua em +\infty e -\infty: y=x- x^{-1} ao expandir.
(c) f(x)=x e^{-2 x}
\Dom=\R.
– Interceptos em (0,0).
f'(x)=e^{-2 x}(1-2x) anula em x=\tfrac12: máximo em \tfrac12.
f'' anula em x=1: inflexão em 1.
\lim_{x\to\infty}f(x)=0 por exponencial domina – assíntota horizontal y=0.

Resposta

(a) \Dom=(0,\infty), intercepto (1,0), \lim_{x\to0^+}f(x)=0, mínimo em \bigl(e^{-1},-e^{-1}\bigr), sempre côncavo para cima, sem assíntotas.
(b) \Dom=\R, intercepto (0,0), mínimo em 0, inflexões em \pm1, assíntota oblíqua y=x-\tfrac1x.
(c) \Dom=\R, intercepto (0,0), máximo em \bigl(\tfrac12,\tfrac12e^{-1}\bigr), inflexão em (1,e^{-2}), assíntota horizontal y=0.

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