Exercício 9. Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça:
f contínua, f(0)=4, f(2)=2, f(5)=6, f^{\prime}(0)=f^{\prime}(2)=0, f^{\prime}(x)>0 se |x-1|>1, f^{\prime}(x)<0 se |x-1|<1, f^{\prime \prime}(x)<0 se x<1 ou se |x-4|<1, f^{\prime \prime}(x)>0 se x>5 ou se |x-2|<1.

Passo 1

O enunciado pede um esboço de uma função contínua f com
f(0)=4,\quad f(2)=2,\quad f(5)=6,
tais que
1. f'(0)=f'(2)=0.
2. f'(x)>0 se \lvert x-1\rvert>1 e f'(x)<0 se \lvert x-1\rvert<1.
3. f''(x)<0 se x<1 ou se \lvert x-4\rvert<1, e f''(x)>0 se x>5 ou se \lvert x-2\rvert<1.
Vamos usar esses sinais de f' para identificar monotonicidade e de f'' para identificar concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Análise de f'(x):
  • A condição \lvert x-1\rvert<1 equivale a 0<x<2. Nessa faixa, f'(x)<0, logo f decresce em (0,2).
  • Fora desse intervalo, isto é para x<0 ou x>2, temos \lvert x-1\rvert>1, logo f'(x)>0 e f cresce para x<0 e para x>2.
  • Em x=0 e x=2 a derivada se anula, indicando tangente horizontal.
    Conclusão:
    – Cresce em (-\infty,0) \to atinge um máximo local em (0,4).
    – Decresce em (0,2) \to atinge um mínimo local em (2,2).
    – Cresce em (2,\infty).

Passo 3

Análise de f''(x):
  • f''(x)<0 (concavidade para baixo) em
    1. x<1,
    2. \lvert x-4\rvert<1, isto é em 3<x<5.
  • f''(x)>0 (concavidade para cima) em
    1. \lvert x-2\rvert<1, isto é em 1<x<3,
    2. x>5.
    Logo há pontos de inflexão em x=1, em x=3 e em x=5.

Passo 4

Agora montamos o esboço juntando monotonicidade e concavidade:
1. Para x<0: f cresce e é côncava para baixo (até o ponto (0,4), máximo local).
2. Em 0<x<1: f decresce e continua côncava para baixo, chegando à inflexão em x=1.
3. Em 1<x<2: f decresce mas agora é côncava para cima, até o mínimo local em (2,2).
4. Em 2<x<3: f cresce e ainda é côncava para cima, até a inflexão em x=3.
5. Em 3<x<5: f cresce e é côncava para baixo, até passar pelo ponto (5,6), inflexão em x=5.
6. Para x>5: f cresce e é côncava para cima.

Resposta

O gráfico de f tem:
  • Máximo local em (0,4) com tangente horizontal.
  • Mínimo local em (2,2) com tangente horizontal.
  • Inflexões em x=1 (altera de concava-baixo para concava-cima), em x=3 (de concava-cima para concava-baixo) e em x=5 (de concava-baixo para concava-cima).
  • Cresce em (-\infty,0), decresce em (0,2), cresce em (2,\infty) e passa pelos pontos dados (0,4), (2,2), (5,6).
    Esse perfil garante todas as condições de f' e f''.

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