Exercício 9. Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça:
contínua,
se
se
se
ou se
se
ou se
.
Passo 1
O enunciado pede um esboço de uma função contínua
com
tais que
.
.
.
se
e
se
.
.
se
ou se
, e
se
ou se
.
Vamos usar esses sinais de para identificar monotonicidade e de
para identificar concavidade e pontos de inflexão.
Vamos usar esses sinais de
Passo 2
Análise de
:
- A condição
equivale a . Nessa faixa, , logo decresce em . - Fora desse intervalo, isto é para
ou , temos , logo e cresce para e para . - Em
e a derivada se anula, indicando tangente horizontal.
Conclusão:
– Cresce ematinge um máximo local em .
– Decresce ematinge um mínimo local em .
– Cresce em.
Passo 3
Análise de
:
-
(concavidade para baixo) em
. ,
. , isto é em . -
(concavidade para cima) em
. , isto é em ,
. .
Logo há pontos de inflexão em, em e em .
Passo 4
Agora montamos o esboço juntando monotonicidade e concavidade:
. Para
:
cresce e é côncava para baixo (até o ponto
, máximo local).
. Em
:
decresce e continua côncava para baixo, chegando à inflexão em
.
. Em
:
decresce mas agora é côncava para cima, até o mínimo local em
.
. Em
:
cresce e ainda é côncava para cima, até a inflexão em
.
. Em
:
cresce e é côncava para baixo, até passar pelo ponto
, inflexão em
.
. Para
:
cresce e é côncava para cima.
Resposta
O gráfico de
tem:
- Máximo local em
com tangente horizontal. - Mínimo local em
com tangente horizontal. - Inflexões em
(altera de concava-baixo para concava-cima), em (de concava-cima para concava-baixo) e em (de concava-baixo para concava-cima). - Cresce em
, decresce em , cresce em e passa pelos pontos dados , , .
Esse perfil garante todas as condições dee .