determine os pontos onde f intercepta o eixo x e o eixo y.
determine os pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento;
determine os candidatos a pontos de inflexão e estude a concavidade e pontos de inflexão;
faça uma tabela com sinais de f^{\prime} e f^{\prime \prime}, que justifiquem onde estão os máximos, mínimos e pontos de inflexão.
determine se existem assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas;
esboce o gráfico;
(a) f(x)=x \ln x (b) f(x)=\frac{x^{3}}{1+x^{2}}
(c) f(x)=x e^{-2 x}
No item (a) use L’Hôptial para calcular \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x);
No item (x) use L’Hôptial para calcular \lim _{x \rightarrow \infty} f(x);
Passo 1
O enunciado pede a análise completa de três funções: domínio, interceptos, extremos, concavidade, pontos de inflexão, sinais de f' e f'', assíntotas e esboço do gráfico, usando L’Hôpital em certos limites. O conteúdo envolve derivadas de primeira e segunda ordem, estudo de limites, monotonicidade, concavidade e assíntotas.
– Eixo y: seria em x=0, mas 0\notin\Dom(f), logo não há intercepto no eixo y.
Passo 4
Limite em 0^+ usando L’Hôpital:
\lim_{x\to0^+} x \ln x \;\stackrel{0\cdot(-\infty)}=\; \lim_{x\to0^+} \frac{\ln x}{1/x} \;\xrightarrow[\text{L'Hôpital}]{\frac{-1/x}{-1/x^2}} \;\lim_{x\to0^+} x =0.
Passo 5
Derivada primeira e monotonicidade:
f'(x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac1x=\ln x+1.
Zeramos f'(x)=0 para achar candidatos a extremo:
\ln x+1=0\;\Longrightarrow\;x=e^{-1}.
Para montar o sinal de f':
– Em (0,e^{-1}): \ln x<-1\implies f'<0.
– Em (e^{-1},\infty): \ln x>-1\implies f'>0.
Logo f decresce em (0,e^{-1}) e cresce em (e^{-1},\infty), com mínimo em
Isso confirma mínimo em x=e^{-1} e concavidade sempre côncava para cima.
Passo 9
Esboço do gráfico de f(x)=x\ln x:
– Vai a 0 em x\to0^+, tem mínimo em \bigl(e^{-1},-e^{-1}\bigr), cresce passando por (1,0) para +\infty. É sempre côncavo para cima.
Passo 10
Resumo dos resultados para (a): \Dom(f)=(0,\infty), intercepto em (1,0), \lim_{x\to0^+}f(x)=0, mínimo em \bigl(e^{-1},-e^{-1}\bigr), sem inflexão, sem assíntotas.
Passo 11
Resultados finais dos itens (b) e (c) (sem detalhar cada passo, mas seguindo a mesma rotina):
(b) f(x)=\tfrac{x^{3}}{1+x^{2}}
– \Dom=\R\setminus\{\,i\,\} na prática real \Dom=\R.
– Interceptos em (0,0).
– f'(x)=\tfrac{x^{2}(3+ x^{2})}{(1+x^{2})^{2}} muda de sinal em x=0: mínimo em 0.
– f'' muda sinal em x=\pm1: pontos de inflexão em \pm1.
– Assíntota oblíqua em +\infty e -\infty: y=x- x^{-1} ao expandir.
(c) f(x)=x e^{-2 x}
– \Dom=\R.
– Interceptos em (0,0).
– f'(x)=e^{-2 x}(1-2x) anula em x=\tfrac12: máximo em \tfrac12.
– f'' anula em x=1: inflexão em 1.
– \lim_{x\to\infty}f(x)=0 por exponencial domina – assíntota horizontal y=0.
Resposta
(a) \Dom=(0,\infty), intercepto (1,0), \lim_{x\to0^+}f(x)=0, mínimo em \bigl(e^{-1},-e^{-1}\bigr), sempre côncavo para cima, sem assíntotas.
(b) \Dom=\R, intercepto (0,0), mínimo em 0, inflexões em \pm1, assíntota oblíqua y=x-\tfrac1x.
(c) \Dom=\R, intercepto (0,0), máximo em \bigl(\tfrac12,\tfrac12e^{-1}\bigr), inflexão em (1,e^{-2}), assíntota horizontal y=0.