Exercício 1.10. Determine se as séries convergem ou divergem.
11!+1 cdot 113!+cdots+1 cdot 11 cdot 21 cdots(10 n-9)(2 n-1)!+cdots

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty1cdot11cdot21cdots(10n-9)(2n-1)!
converge ou diverge. Vamos usar o teste da razão, que diz que se
L = limntoinfty|an+1an|
satisfaz L<1, então a série converge absolutamente.

Passo 2

Identificamos o termo geral
an = 1cdot11cdot21cdots(10n-9)(2n-1)!

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = l(1cdot11cdots(10n-9)cdot(10(n+1)-9)r)/(2(n+1)-1)! l(1cdot11cdots(10n-9)r)/(2n-1)! = 10n+1(2n+1)(2n)

Passo 4

Tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty10n+1(2n+1)(2n) = limntoinfty10+tfrac1n4n+2 =0<1
Logo, pelo teste da razão a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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