Exercício 1.10. Determine se as séries convergem ou divergem.
1e+8e^2+cdots+n^3e^n+cdots

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty n^3e^n
O conteúdo aqui é teste de convergência para séries com fator exponencial no denominador. Vamos usar o teste da razão, que é muito eficiente quando o termo geral envolve fator do tipo e^n.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = n^3e^n
No teste da razão, comparamos an+1 com an, calculando
an+1an = (n+1)^3e^,n+1n^3e^n = (n+1)^3n^3cdot1e

Passo 3

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyan+1an = limntoinfty(n+1)^3n^3cdot1e = 1elimntoinftyl(1+tfrac1nr)^3 = 1ecdot1 = 1e

Passo 4

Como tfrac1e<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente. Concluímos que
sumn=1^inftyn^3e^n
é convergente.

Resposta

A série converge.

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