Exercício 1.10. Determine se as séries convergem ou divergem.
21+2 cdot 5 cdot 81 cdot 5 cdot 9+cdots+2 cdot 5 cdot 8 cdots(6 n-7)(6 n-4)1 cdot 5 cdot 9 cdots(8 n-11)(8 n-7)+cdots

Passo 1

O enunciado nos dá a série cujos termos são
21, 2cdot5cdot81cdot5cdot9, dots, 2cdot5cdot8cdots(6n-7)(6n-4)1cdot5cdot9cdots(8n-11)(8n-7),;dots
O conteúdo aqui é o teste da razão para séries de produtos.

Passo 2

Vamos identificar o termo geral an. Observando que
2, 5, 8, ···, 6n - 4 formam uma progressão aritmética com diferença 3 e número de termos 2n - 1, e 1, 5, 9, ···, 8n - 7 formam outra com diferença 4 também com 2n - 1 termos, temos
an ;=; prodj=1^2n - 1(3j - 1)prodj=1^2n - 1(4j - 3)

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
an+1an =(3(2n)-1)(3(2n+1)-1)(4(2n)-3)(4(2n+1)-3) =(6n-1)(6n+2)(8n-3)(8n+1)
Para ntoinfty,
an+1an;longrightarrow;6ncdot6n8ncdot8n =36n^264n^2 =916<1

Passo 4

Como o limite da razão é tfrac916<1, a série converge absolutamente pelo teste da razão.

Resposta

A série converge.

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