Exercício 4.10.1 Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
y=\tan \left(e^{\sqrt{x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \tan\bigl(e^{\sqrt{x}}\bigr).
Aqui vamos usar a regra da cadeia em três níveis: primeiro para \tan(u), depois para u = e^v e por fim para v = \sqrt{x}.

Passo 2

Seja u = e^{\sqrt{x}}. Então, aplicando a derivada de \tan(u) em relação a u, temos
\frac{dy}{dx} = \operatorname{sec}^2(u)\,\frac{du}{dx} = \operatorname{sec}^2\bigl(e^{\sqrt{x}}\bigr)\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Para \displaystyle u = e^v com v = \sqrt{x}, a regra da cadeia dá
\frac{du}{dv} = e^v \quad\text{e}\quad \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Assim,
\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv}\,\frac{dv}{dx} = e^{\sqrt{x}}\;\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Substituindo \displaystyle \frac{du}{dx} em \displaystyle \frac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = \operatorname{sec}^2\bigl(e^{\sqrt{x}}\bigr)\;\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\;\operatorname{sec}^2\bigl(e^{\sqrt{x}}\bigr).

Exercícios relacionados