Exercício 4.10.1 Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
y=e^{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = e^{e^{x}}.
Este é um caso típico de aplicação da regra da cadeia, em que temos uma função composta de duas exponenciais.

Passo 2

Identificamos as funções envolvidas na composição:
— Função externa f(u)=e^{u}.
— Função interna u(x)=e^{x}.

Passo 3

Aplica-se a regra da cadeia: a derivada de y em relação a x é
\frac{dy}{dx} =\frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.
Primeiro, calculamos
\frac{dy}{du} =\frac{d}{du}e^{u} =e^{u}.

Passo 4

Agora, derivamos a função interna
\frac{du}{dx} =\frac{d}{dx}e^{x} =e^{x}.

Passo 5

Multiplicando os resultados, obtemos
\frac{dy}{dx} =e^{u}\cdot e^{x}.
Como u=e^{x}, isso fica
\frac{dy}{dx} =e^{e^{x}}\;e^{x}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=e^{x}e^{e^{x}}.

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