Exercício 10. Discutir e resolver os sistemas homgêneos:
l2 x-y+z=0 x-2 y-3 z=0 x-4 y-z=0

Passo 1

O enunciado pede para discutir e resolver o sistema homogêneo
2x - y + z = 0, x - 2y - 3z = 0, x - 4y - z = 0
O conteúdo é Álgebra Linear: sistemas lineares homogêneos, eliminação de Gauss, posto da matriz e dimensão do espaço solução. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar eliminação para verificar se há somente a solução trivial ou soluções não-triviais.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada l[Amid 0r] e começamos a eliminação de Gauss para zerar abaixo dos pivôs:
[ccc|c 2 & -1 & 1 & 0 1 & -2 & -3 & 0 1 & -4 & -1 & 0 ]

Passo 3

Primeiro, trocamos R1rightarrowR2 para ter pivô 1 na primeira linha:
[ccc|c 1 & -2 & -3 & 0 2 & -1 & 1 & 0 1 & -4 & -1 & 0 ]
Em seguida, eliminamos abaixo do primeiro pivô:
R2 R2 -2,R1 e R3 R3 - R1, resultando em
[ccc|c 1 & -2 & -3 & 0 0 & 3 & 7 & 0 0 & -2 & 2 & 0 ]

Passo 4

Para o segundo pivô, dividimos R2 por 3:
[ccc|c 1 & -2 & -3 & 0 0 & 1 & tfrac73 & 0 0 & -2 & 2 & 0 ]
Agora eliminamos abaixo do segundo pivô:
R3 R3 +2,R2, obtendo
[ccc|c 1 & -2 & -3 & 0 0 & 1 & tfrac73 & 0 0 & 0 & tfrac203 & 0 ]

Passo 5

Como o terceiro pivô tfrac203neq0, dividimos R3 por tfrac203 e vemos que a matriz está na forma identidade ampliada. Isso mostra que a matriz dos coeficientes tem posto 3, igual ao número de incógnitas. Num sistema homogêneo isso implica que a única solução é a trivial:
x=0, y=0, z=0

Resposta

A única solução do sistema é
(x,y,z) = (0,0,0)

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