• Problema 5.14. Seja f(x)=[x] a função piso, e g(x)=x-[x]. Esboce os gráficos de f e g. Determine os pontos de continuidade de cada uma.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar os gráficos de duas funções—o piso e a parte fracionária—e determinar onde cada uma é contínua. O conteúdo é funções de valor inteiro, parte fracionária e continuidade. Para resolver vamos usar a definição de piso, a definição de parte fracionária e o critério de continuidade via limites laterais.

Passo 2

A função piso é definida como f(x)=lfloor xrfloor, isto é, o maior inteiro menor ou igual a x. No gráfico, f é constante em cada intervalo [k,k+1) valendo k, e dá um “degrau” para k+1 quando x alcança esse inteiro. Em cada intervalo entre inteiros o gráfico é uma reta horizontal.

Passo 3

Para ver a continuidade de f, avaliamos limites laterais em um ponto x0: se x0 não é inteiro, basta olhar em torno dele que f(x) mantém o mesmo valor de piso, então limxto x0^-f(x)=limxto x0^+f(x)=f(x0) e f é contínua. Se x0=n é inteiro, então limxto n^-f(x)=n-1 e limxto n^+f(x)=n, que diferem entre si e de f(n)=n, logo há descontinuidade em todos os inteiros.

Passo 4

A parte fracionária é definida como g(x)=x-lfloor xrfloor. Entre inteiros k<= x<k+1, temos g(x)=x-k, que é uma reta de coeficiente angular 1 saindo de 0 (em x=k) até 1 (quando xto k+1^-). No ponto x=k+1 a função “reseta” de volta a 0, gerando o formato de serra.

Passo 5

Para checar a continuidade de g, em ponto não inteiro x0 a expressão x-lfloor xrfloor é simplesmente uma reta, logo contínua ali. Em um inteiro n, a limxto n^-g(x)=1, já g(n)=0 e limxto n^+g(x)=0, portanto há salto em cada inteiro, e g é descontínua nesses pontos.

Resposta

A função f(x)=lfloor xrfloor é contínua em todos os pontos que não são inteiros e descontínua em cada inteiro. A função g(x)=x-lfloor xrfloor é contínua em todos os pontos que não são inteiros e também descontínua em cada inteiro.

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