- Problema 5.14. Seja
a função piso, e
. Esboce os gráficos de
e
. Determine os pontos de continuidade de cada uma.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar os gráficos de duas funções—o piso e a parte fracionária—e determinar onde cada uma é contínua. O conteúdo é funções de valor inteiro, parte fracionária e continuidade. Para resolver vamos usar a definição de piso, a definição de parte fracionária e o critério de continuidade via limites laterais.
Passo 2
A função piso é definida como
, isto é, o maior inteiro menor ou igual a
. No gráfico,
é constante em cada intervalo
valendo
, e dá um “degrau” para
quando
alcança esse inteiro. Em cada intervalo entre inteiros o gráfico é uma reta horizontal.
Passo 3
Para ver a continuidade de
, avaliamos limites laterais em um ponto
: se
não é inteiro, basta olhar em torno dele que
mantém o mesmo valor de piso, então
e
é contínua. Se
é inteiro, então
e
, que diferem entre si e de
, logo há descontinuidade em todos os inteiros.
Passo 4
A parte fracionária é definida como
. Entre inteiros
, temos
, que é uma reta de coeficiente angular 1 saindo de 0 (em
) até 1 (quando
). No ponto
a função “reseta” de volta a 0, gerando o formato de serra.
Passo 5
Para checar a continuidade de
, em ponto não inteiro
a expressão
é simplesmente uma reta, logo contínua ali. Em um inteiro
, a
, já
e
, portanto há salto em cada inteiro, e
é descontínua nesses pontos.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos que não são inteiros e descontínua em cada inteiro. A função
é contínua em todos os pontos que não são inteiros e também descontínua em cada inteiro.