é contínua em um ponto se, e somente se, é contínua em ;
é contínua se, e somente se, , para algum .
Passo 1
O enunciado considera uma função aditiva, isto é, uma tal que
Queremos mostrar três coisas:
Homogeneidade em naturais: para .
Continuidade em um ponto continuidade em todo .
Se é contínua então é da forma .
Vamos usar indução, propriedades de limites de funções e densidade dos racionais.
Passo 2
Prova por indução em de que .
Base :
Passo indutivo: suponha . Então
Logo, vale para todo .
Passo 3
Estendemos para inteiros e racionais. Primeiro, usando , obtemos
Assim, para vale .
Para um racional com , , temos
logo e
Passo 4
Mostramos agora que continuidade em um ponto implica continuidade em todo lugar. Suponha contínua em . Para qualquer e ,
pois f(h)=f((h+a)-a)=f(h+a)-f(a)to0 pela continuidade em a. Logo f é contínua em x. O argumento inverso (se há continuidade em todo x, em particular em a) é trivial.
Passo 5
Caracterização linear. Se f é contínua então, para todo racional q,
f(q)=fl(qcdot1r)=q,f(1)
Agora, para xinR, escolha uma sequência de racionais qnto x. Pela continuidade,
f(x)=limntoinftyf(qn)=limntoinftyqn,f(1)=x,f(1)
Assim f(x)=m,x com m=f(1).
Recíproco: toda função da forma xmapsto m,x é claramente aditiva e contínua.
Resposta
f(n x)=n,f(x) para todo ninN.
f é contínua em um ponto se, e somente se, é contínua em todo R.
f é contínua se, e somente se, existe minR tal que f(x)=m,x.