• Problema 5.13. Suponha que f: R R satisfaça:
f(x+y)=f(x)+f(y), forall x, y in R
Mostre que:
  1. f(n x)=n f(x), para todo x in R, n in N;
  2. f é contínua em um ponto se, e somente se, é contínua em R;
  3. f é contínua se, e somente se, f(x)=m x, para algum m in R.

Passo 1

O enunciado considera uma função aditiva, isto é, uma f:RtoR tal que
f(x+y)=f(x)+f(y), forall x,yinR
Queremos mostrar três coisas:
  1. Homogeneidade em naturais: f(n x)=n,f(x) para ninN.
  2. Continuidade em um ponto iff continuidade em todo R.
  3. Se f é contínua então é da forma f(x)=m,x.
    Vamos usar indução, propriedades de limites de funções e densidade dos racionais.

Passo 2

Prova por indução em ninN de que f(n x)=n,f(x).
Base n=1:
f(1cdot x)=f(x)=1cdot f(x)
Passo indutivo: suponha f(kx)=k,f(x). Então
f((k+1)x)=f(kx + x)=f(kx)+f(x)=k,f(x)+f(x)=(k+1),f(x)
Logo, vale para todo ninN.

Passo 3

Estendemos para inteiros e racionais. Primeiro, usando 0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x), obtemos
f(-x)=-f(x)
Assim, para ninZ vale f(n x)=n,f(x).
Para um racional q=tfracpn com pinZ, ninN, temos
fl(n,(q x)r)=n,f(q x)e fl(n,(q x)r)=f(px)=p,f(x),
logo n,f(q x)=p,f(x) e
f(q x)=pn,f(x)=q,f(x)

Passo 4

Mostramos agora que continuidade em um ponto implica continuidade em todo lugar. Suponha f contínua em a. Para qualquer xinR e hto0,
f(x+h)-f(x)=fl((x+h)-xr)=f(h)xrightarrow[hto0]f(0)=0,
pois f(h)=f((h+a)-a)=f(h+a)-f(a)to0 pela continuidade em a. Logo f é contínua em x. O argumento inverso (se há continuidade em todo x, em particular em a) é trivial.

Passo 5

Caracterização linear. Se f é contínua então, para todo racional q,
f(q)=fl(qcdot1r)=q,f(1)
Agora, para xinR, escolha uma sequência de racionais qnto x. Pela continuidade,
f(x)=limntoinftyf(qn)=limntoinftyqn,f(1)=x,f(1)
Assim f(x)=m,x com m=f(1).
Recíproco: toda função da forma xmapsto m,x é claramente aditiva e contínua.

Resposta

  1. f(n x)=n,f(x) para todo ninN.
  2. f é contínua em um ponto se, e somente se, é contínua em todo R.
  3. f é contínua se, e somente se, existe minR tal que f(x)=m,x.

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