Exercício 10. Discutir e resolver os sistemas homgêneos:
lx-y+z=0 x-3 y+7 z=0 2 x-3 y+5 z=0

Passo 1

O enunciado pede para discutir e resolver o sistema homogêneo
x - y + z = 0, x - 3y + 7z = 0, 2x - 3y + 5z = 0
Conteúdo: sistemas lineares homogêneos e eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz ampliada, aplicar operações elementares, encontrar a forma escalonada, identificar variáveis livres, obter a solução geral e então discutir dimensão do espaço de soluções.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada l[Amid 0r]:
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 0 1 & -3 & 7 & 0 2 & -3 & 5 & 0 ]
Aplicamos eliminação de Gauss para triangularizar.

Passo 3

Subtraindo a linha 1 da linha 2 e subtraindo duas vezes a linha 1 da linha 3, obtemos
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 0 0 & -2 & 6 & 0 0 & -1 & 3 & 0 ]
Agora, pivot na linha 2: dividimos a linha 2 por -2, e depois eliminamos o termo da linha 3:
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & -3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 4

As equações correspondentes são
x - y + z = 0, y - 3z = 0
Da segunda equação vem ;y = 3z. Da primeira, x = y - z = 3z - z = 2z.
Logo, seja z = tinR variável livre, temos
(x,y,z) = (2t,;3t,;t) = t,(2,3,1)

Passo 5

Discussão: como há uma variável livre, o espaço solução é uma reta (subespaço de dimensão 1) em R^3, gerada pelo vetor (2,3,1). A matriz dos coeficientes tem posto 2.

Resposta

(x,y,z)inR^3 mid x=2t,;y=3t,;z=t,;tinR =span(2,3,1)

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