Exercício 8. Determine o valor de m para que o sistema. lx+2 y+m z=1 2 x+k y+8 z=3 tenha:
a) solução única
b) nenhuma solução
c) mais de uma solução

Passo 1

O enunciado dá o sistema em três incógnitas e um parâmetro
O conteúdo principal é estudar as posições relativas de duas planos em (\mathbb{R}^3] via posto (rank) da matriz de coeficientes e da matriz aumentada para classificar se o sistema é impossível, tem soluções infinitas ou única.

Passo 2

Escrevemos as linhas dos coeficientes como vetores em R^3:
v1 = (1,,2,,m), v2 = (2,,m,,8)
Para que os planos sejam paralelos (rank reduzido), precisamos de v1 proporcional a v2, i.e. exista lambdaneq0 tal que
(1,2,m) = lambda,(2,m,8)

Passo 3

Das componentes obtemos
lambda = 12, 2 = lambda,m ;Longrightarrow; m = 2lambda = 4, m = lambdacdot 8 ;Longrightarrow; m = 4
Logo a única possibilidade de proporcionalidade é m=4.

Passo 4

Para m=4 as retas (planos) de coeficientes coincidem em direção, mas devemos testar consistência no vetor de termos independentes (1,3). Se fosse coincidente haveria (1,3)=lambda,(1,2)? Porém de lambda=1/2 seguiria 3=tfrac12cdot2=1, o que é falso. Assim para m=4 o sistema é impossível (nenhuma solução).

Passo 5

Quando mneq4 os vetores v1 e v2 não são proporcionais, então o posto da matriz de coeficientes é 2. Como temos 2 equações e 3 incógnitas, sobram sempre 3-2=1 graus de liberdade, gerando infinitas soluções.

Resposta

a) única solução: não existe valor de m.
b) nenhuma solução: m=4.
c) mais de uma solução: mneq4.

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