- Problema 5.16. Se
é contínua e
é intervalo fechado e limitado, prove que
também é intervalo fechado e limitado.
Passo 1
O enunciado afirma que
é contínua e que
é um intervalo fechado e limitado. Queremos mostrar que a imagem
é também um intervalo fechado e limitado. Para isso vamos usar dois resultados clássicos de análise real:
- Teorema do valor extremo (existe mínimo e máximo de
em ). - Teorema do valor intermediário (valores intermediários são atingidos).
Passo 2
Como
é fechado e limitado em
, sabemos que
é compacto. A continuidade de
garante então, pelo Teorema do Valor Extremo, que existem pontos
e
em
tais que
Logo
vale
, o que implica
Isso mostra que
é limitado e que os extremos
e
pertencem a
.
Passo 3
Para ver que
é um intervalo fechado, aplicamos o Teorema do Valor Intermediário: se
é qualquer número tal que
, então existe
com
Isto mostra que todo ponto de
está em
. Como já sabemos que
e
, concluímos
Resposta
Da inclusão dupla
e
segue que
que é um intervalo fechado e limitado.