• Problema 5.16. Se f: I R é contínua e I subset R é intervalo fechado e limitado, prove que f(I) também é intervalo fechado e limitado.

Passo 1

O enunciado afirma que fcolon ItoR é contínua e que IsubsetR é um intervalo fechado e limitado. Queremos mostrar que a imagem f(I) é também um intervalo fechado e limitado. Para isso vamos usar dois resultados clássicos de análise real:
  1. Teorema do valor extremo (existe mínimo e máximo de f em I).
  2. Teorema do valor intermediário (valores intermediários são atingidos).

Passo 2

Como I é fechado e limitado em R, sabemos que I é compacto. A continuidade de f garante então, pelo Teorema do Valor Extremo, que existem pontos xmin e xmax em I tais que
m = f(xmin) = minxin If(x), M = f(xmax) = maxxin If(x)
Logo forall xin I vale m<= f(x)<= M, o que implica
f(I)subset [m,M]
Isso mostra que f(I) é limitado e que os extremos m e M pertencem a f(I).

Passo 3

Para ver que f(I) é um intervalo fechado, aplicamos o Teorema do Valor Intermediário: se y é qualquer número tal que m<y<M, então existe cin I com
f(c)=y
Isto mostra que todo ponto de (m,M) está em f(I). Como já sabemos que min f(I) e Min f(I), concluímos
[m,M]subset f(I)

Resposta

Da inclusão dupla f(I)subset [m,M] e [m,M]subset f(I) segue que
f(I) = [m,M],
que é um intervalo fechado e limitado.

Exercícios relacionados