• Problema 5.17. Se f: I R é contínua em um intervalo fechado e limitado I, então f atinge máximo e mínimo.

Passo 1

O enunciado afirma que toda função fcolon ItoR contínua num intervalo fechado e limitado I atinge valores máximo e mínimo. O conteúdo é Análise Real (Teorema de Weierstrass). Para provar isso sem pular etapas, vamos usar dois fatos clássicos: (i) um conjunto fechado e limitado em R é compacto e, portanto, toda sequência nele tem subsequência convergente; (ii) a imagem de um ponto-límite pela função contínua é o limite das imagens.

Passo 2

Primeiro mostramos que f(I) é limitado, pois I é limitado e f é contínua. Logo existem
M = sup f(I)inR, m = inf f(I)inR
Queremos provar que existem pontos v,uin I tais que f(v)=M e f(u)=m.

Passo 3

Para o máximo M, como é supremo, para cada ninN podemos escolher xnin I com
f(xn) > M - 1n
A sequência (xn) está em I, que é fechado e limitado, logo por Bolzano–Weierstrass existe uma subsequência l(xnkr) que converge para algum vin I.

Passo 4

Pela continuidade de f em v temos
limktoinfty fl(xnkr) = f!l(limktoinftyxnkr) = f(v)
Por outro lado, como f(xnk)>M-1/nk, no limite vem f(v)=M. Assim vin I atinge o valor máximo.

Passo 5

O argumento para o mínimo m é análogo: escolhemos ynin I com
f(yn) < m + 1n,
extraímos subsequência convergente ynkto uin I e pela continuidade obtemos f(u)=m.

Resposta

Existem u,vin I tais que
f(u)=inf f(I) e f(v)=sup f(I),
isto é, f atinge mínimo e máximo em I.

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