- Problema 5.17. Se
é contínua em um intervalo fechado e limitado
, então
atinge máximo e mínimo.
Passo 1
O enunciado afirma que toda função
contínua num intervalo fechado e limitado
atinge valores máximo e mínimo. O conteúdo é Análise Real (Teorema de Weierstrass). Para provar isso sem pular etapas, vamos usar dois fatos clássicos: (i) um conjunto fechado e limitado em
é compacto e, portanto, toda sequência nele tem subsequência convergente; (ii) a imagem de um ponto-límite pela função contínua é o limite das imagens.
Passo 2
Primeiro mostramos que
é limitado, pois
é limitado e
é contínua. Logo existem
Queremos provar que existem pontos
tais que
e
.
Passo 3
Para o máximo
, como é supremo, para cada
podemos escolher
com
A sequência
está em
, que é fechado e limitado, logo por Bolzano–Weierstrass existe uma subsequência
que converge para algum
.
Passo 4
Pela continuidade de
em
temos
Por outro lado, como
, no limite vem
. Assim
atinge o valor máximo.
Passo 5
O argumento para o mínimo
é análogo: escolhemos
com
extraímos subsequência convergente
e pela continuidade obtemos
.
Resposta
Existem
tais que
isto é,
atinge mínimo e máximo em
.