Exercício 0.10 Efetue as operações a seguir.
(6+\sqrt{2})(5-\sqrt{2})

Passo 1

O enunciado dá a expressão (6+\sqrt{2})(5-\sqrt{2}) e pede que a efetivemos, ou seja, que calculemos o produto e simplifiquemos o resultado. Informações relevantes: os termos são números reais e envolvem uma raiz quadrada \sqrt{2}. A tarefa é multiplicar e simplificar.

Passo 2

Escolhemos usar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (também conhecida como método FOIL para produtos de binômios), que diz que para quaisquer números a,b,c,d vale
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.
Aqui a=6, b=\sqrt{2}, c=5, d=-\sqrt{2}. Então vamos aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Aplicando a distributiva/FOIL à expressão, obtemos os quatro termos:
(6+\sqrt{2})(5-\sqrt{2}) = 6\cdot5 + 6\cdot(-\sqrt{2}) + \sqrt{2}\cdot5 + \sqrt{2}\cdot(-\sqrt{2}).

Passo 4

Calculemos cada termo separadamente. Primeiro,
6\cdot5 = 30.

Passo 5

Segundo termo:
6\cdot(-\sqrt{2}) = -6\sqrt{2}.
Aqui mantemos a raiz como fator: multiplicar um número por \sqrt{2} só escala o coeficiente.

Passo 6

Terceiro termo:
\sqrt{2}\cdot5 = 5\sqrt{2}.

Passo 7

Quarto termo (atenção ao produto de raízes):
\sqrt{2}\cdot(-\sqrt{2}) = -(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}).
Usamos a propriedade das raízes: para x\ge0, \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x. Assim,
\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2,
portanto
\sqrt{2}\cdot(-\sqrt{2}) = -2.

Passo 8

Juntando todos os termos que calculamos:
30 + (-6\sqrt{2}) + 5\sqrt{2} + (-2).

Passo 9

Agora somamos os termos semelhantes. Primeiro os termos constantes:
30 + (-2) = 28.
Depois os termos com \sqrt{2}:
-6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = -1\sqrt{2} = -\sqrt{2}.

Passo 10

Portanto a expressão simplificada é
28 - \sqrt{2}.

Resposta

\,28-\sqrt{2}\,

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