Exercício 4.10.1 Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
y=\ln \left(\frac{e^{4 x}-1}{e^{4 x}+1}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \ln\!\biggl(\frac{e^{4x}-1}{e^{4x}+1}\biggr).
Vamos usar propriedades de logaritmo (reduzir a diferença de logaritmos) e depois a regra da cadeia para derivar y.

Passo 2

Aplicando a propriedade
\ln\frac{A}{B}=\ln A-\ln B, reescrevemos
y = \ln(e^{4x}-1)\;-\;\ln(e^{4x}+1).

Passo 3

Derivando termo a termo e lembrando que \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} e \frac{d}{dx}e^{4x}=4e^{4x}, obtemos
y' = \frac{4e^{4x}}{e^{4x}-1}\;-\;\frac{4e^{4x}}{e^{4x}+1}.

Passo 4

Para simplificar, colocamos sobre um denominador comum (e^{4x}-1)(e^{4x}+1)=e^{8x}-1:
y' = 4e^{4x}\,\frac{(e^{4x}+1)-(e^{4x}-1)}{e^{8x}-1} =4e^{4x}\,\frac{2}{e^{8x}-1} =\frac{8\,e^{4x}}{e^{8x}-1}.

Resposta

y' = \frac{8\,e^{4x}}{e^{8x}-1}.

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