Exercício 4.10.1 Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
y=e^{x} \operatorname{sen}\left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = e^{x}\,\operatorname{sen}\bigl(e^{x}\bigr)\,.
O conteúdo aqui é derivar um produto de duas funções usando a regra do produto e, para uma delas, aplicar também a regra da cadeia.

Passo 2

Separe as duas partes do produto:
u(x) = e^{x}, \quad v(x) = \operatorname{sen}\bigl(e^{x}\bigr).
Pela regra do produto,
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calcule u'(x). Como u(x)=e^{x},
u'(x) = e^{x}.

Passo 4

Calcule v'(x). Aqui v(x)=\operatorname{sen}(e^{x}) é composição de \operatorname{sen}(u) com u=e^{x}. Pela regra da cadeia,
v'(x) = \cos\bigl(e^{x}\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr) = \cos\bigl(e^{x}\bigr)\,e^{x}.

Passo 5

Substituindo na fórmula da regra do produto:
y' = e^{x}\,\operatorname{sen}\bigl(e^{x}\bigr) + e^{x}\,\bigl[\cos\bigl(e^{x}\bigr)\,e^{x}\bigr].

Passo 6

Simplifique e^{x}\cdot e^{x}=e^{2x} e, se quiser, fatorar e^{x}:
y' = e^{x}\,\operatorname{sen}\bigl(e^{x}\bigr) + e^{2x}\,\cos\bigl(e^{x}\bigr) \quad\Longleftrightarrow\quad y' = e^{x}\Bigl(\operatorname{sen}(e^{x}) + e^{x}\cos(e^{x})\Bigr).

Resposta

y' = e^{x}\,\operatorname{sen}\bigl(e^{x}\bigr) + e^{2x}\,\cos\bigl(e^{x}\bigr).

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