Exercício 4.10.1 Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
y=x^{5} e^{5 \ln (2 x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = x^{5} \, e^{5 \ln(2x)}.
Vamos usar as propriedades de logaritmo e exponencial (para simplificar e^{5\ln(2x)}) e, em seguida, a regra do poder para derivar o resultado.

Passo 2

Usamos a identidade
e^{5 \ln(2x)} = \bigl(e^{\ln(2x)}\bigr)^{5} = (2x)^{5} = 2^{5} x^{5} = 32\,x^{5}.

Passo 3

Substituindo em y, obtemos
y = x^{5} \cdot 32\,x^{5} = 32\,x^{10}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do poder: se y = 32\,x^{10}, então
\frac{dy}{dx} = 32 \cdot 10\,x^{9} = 320\,x^{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 320\,x^{9}

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