• Questão 1 Considere a trajetória parametrizada pela seguinte função vetorial:
\vec{r}(t)=\left(10 t+\frac{5 \operatorname{sen}(4 t)}{2}\right) \vec{i}+4 \cos ^{2}(2 t) \vec{j}+3 \operatorname{sen}^{2}(2 t) \vec{k}, \quad t \geq 0
1A.(2.0pt) Obtenha expressões em t para os 3 vetores de Frenet \vec{T}, \vec{N}, \vec{B}.
1B. (2.0pt) Obtenha a curvatura e a torção em t=\frac{\pi}{2}. Use \cos ^{2}(u)=\frac{1+\cos (2 u)}{2}, \operatorname{sen}^{2}(u)=\frac{1-\cos (2 u)}{2}

Passo 1

O enunciado dá a curva espacial
\vec r(t)=\Bigl(10t+\frac{5}{2}\sin(4t)\Bigr)\,\vec i \;+\;4\cos^2(2t)\,\vec j\;+\;3\sin^2(2t)\,\vec k \quad(t\ge0)
e pede (1A) os versores de Frenet \vec T,\vec N,\vec B em função de t e (1B) a curvatura \kappa e a torção \tau em t=\tfrac\pi2.
Para isso vamos precisar de
  1. \vec r'(t),\vec r''(t),\vec r'''(t),
  2. o módulo \|\vec r'\| (velocidade),
  3. as fórmulas
\vec T=\frac{\vec r'}{\|\vec r'\|},\quad \kappa=\frac{\|\vec r'\times\vec r''\|}{\|\vec r'\|^3},\quad \vec N=\frac{\vec T'}{\|\vec T'\|},\quad \vec B=\vec T\times\vec N,\quad \tau=\frac{(\vec r'\times\vec r'')\cdot\vec r'''}{\|\vec r'\times\vec r''\|^2}.

Passo 2

Calculemos \vec r'(t) e \|\vec r'(t)\|.
Derivando componente a componente:
\vec r'(t)=\bigl(10+\tfrac{5}{2}\cdot4\cos(4t),\;4\cdot2\cos(2t)(-\,\sin(2t))\cdot2,\;3\cdot2\sin(2t)\cos(2t)\cdot2\bigr)
\vec r'(t)=\bigl(10+10\cos4t,\;-8\sin4t,\;6\sin4t\bigr).
Agora o módulo:
\|\vec r'\|^2=(10+10\cos4t)^2+(-8\sin4t)^2+(6\sin4t)^2 =100(1+2\cos4t+\cos^24t)+100\sin^24t
=100\bigl(1+2\cos4t+\cos^24t+\sin^24t\bigr) =100\bigl(2+2\cos4t\bigr) =200\,(1+\cos4t).
Usando 1+\cos4t=2\cos^2(2t),
\|\vec r'\|=\sqrt{200\cdot2\cos^2(2t)}=20\,|\cos2t|.

Passo 3

O versor tangente é
\vec T=\frac{\vec r'}{\|\vec r'\|} =\frac{\bigl(10+10\cos4t,\,-8\sin4t,\,6\sin4t\bigr)}{20\cos2t} \quad(\cos2t>0\text{ para simplicar}).
Usando 10+10\cos4t=20\cos^2(2t) e \sin4t=2\sin2t\cos2t:
\vec T =\Bigl(\frac{20\cos^2(2t)}{20\cos2t},\;\frac{-8\cdot2\sin2t\cos2t}{20\cos2t},\;\frac{6\cdot2\sin2t\cos2t}{20\cos2t}\Bigr) =\bigl(\cos2t,\;-\tfrac45\sin2t,\;\tfrac35\sin2t\bigr).

Passo 4

Derivamos \vec T para encontrar \|\vec T'\| e a curvatura \kappa:
\vec T'=\bigl(-2\sin2t,\;-\,\tfrac45\cdot2\cos2t,\;\tfrac35\cdot2\cos2t\bigr) =\bigl(-2\sin2t,\;-\tfrac{8}{5}\cos2t,\;\tfrac{6}{5}\cos2t\bigr).
O módulo
\|\vec T'\|^2=4\sin^22t+\tfrac{64}{25}\cos^22t+\tfrac{36}{25}\cos^22t =4\sin^22t+4\cos^22t=4,
logo \|\vec T'\|=2.
Como \vec T'=\kappa\,\|\vec r'\|\;\vec N, obtemos
\kappa=\frac{\|\vec T'\|}{\|\vec r'\|}=\frac{2}{20\cos2t}=\frac{1}{10\cos2t}, \quad \vec N=\frac{\vec T'}{\|\vec T'\|}=\bigl(-\sin2t,\;-\tfrac45\cos2t,\;\tfrac35\cos2t\bigr).

Passo 5

O binormal é
\vec B=\vec T\times\vec N.
Fazendo o produto vetorial direto (ou observando que dá vetor constante) chega-se a
\vec B=(0,\,-\tfrac35,\,-\tfrac45),
que é unitário.

Passo 6

A torção pode ser calculada por
\tau=\frac{(\vec r'\times\vec r'')\cdot\vec r'''}{\|\vec r'\times\vec r''\|^2}.
Se calcularmos \vec r'' e \vec r''' e formos à mão esse produto misto, encontramos zero em todo t. Também se nota que \vec B é constante, logo \tau=0.

Passo 7

Avaliação em t=\tfrac\pi2:
\cos(2t)=\cos\pi=-1, mas a curvatura é sempre positiva
\kappa\bigl(\tfrac\pi2\bigr) =\frac{1}{10\,|\cos\pi|} =\frac{1}{10}, \qquad \tau\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=0.

Resposta

(1A)
\displaystyle \vec T(t)=\bigl(\cos2t,\,-\tfrac45\sin2t,\;\tfrac35\sin2t\bigr),
\displaystyle \vec N(t)=\bigl(-\sin2t,\,-\tfrac45\cos2t,\;\tfrac35\cos2t\bigr),
\displaystyle \vec B(t)=(0,\,-\tfrac35,\,-\tfrac45).
(1B)
\displaystyle \kappa\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=\tfrac1{10},\quad \tau\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=0.

Exercícios relacionados