- Questão 1 Considere a trajetória parametrizada pela seguinte função vetorial:
1A.(2.0pt) Obtenha expressões em
para os 3 vetores de Frenet
.
1B. (2.0pt) Obtenha a curvatura e a torção em
. Use
1B. (2.0pt) Obtenha a curvatura e a torção em
Passo 1
O enunciado dá a curva espacial
e pede (1A) os versores de Frenet
em função de
e (1B) a curvatura
e a torção
em
.
Para isso vamos precisar de
Para isso vamos precisar de
-
, - o módulo
(velocidade), - as fórmulas
Passo 2
Calculemos
e
.
Derivando componente a componente:
Derivando componente a componente:
Agora o módulo:
Usando
,
Passo 3
O versor tangente é
Usando
e
:
Passo 4
Derivamos
para encontrar
e a curvatura
:
O módulo
logo
.
Como , obtemos
Como
Passo 5
O binormal é
Fazendo o produto vetorial direto (ou observando que dá vetor constante) chega-se a
que é unitário.
Passo 6
A torção pode ser calculada por
Se calcularmos
e
e formos à mão esse produto misto, encontramos zero em todo
. Também se nota que
é constante, logo
.
Passo 7
Avaliação em
:
, mas a curvatura é sempre positiva
Resposta
(1A)
(1B)