Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h
derivada de f(x)=1x no ponto a=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=tfrac1x no ponto a=1 usando a definição
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
Aqui o conteúdo é a derivada pelo quociente de Newton e vamos só aplicar a fórmula trocando a=1.

Passo 2

Substituímos f(x)=tfrac1x em f(1+h)-f(1)h. Assim
f(1+h)-f(1)h =11+h-11h =11+h-1h

Passo 3

Fazemos um único quociente no numerador:
11+h-1 =1-(1+h)1+h =-h1+h
Logo o quociente todo vira
-h1+hh =-hh,(1+h) =-11+h

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando hto0:
f'(1)=limhto0-11+h =-11+0 =-1

Resposta

f'(1)=-1

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