(Subseções 4.6.1 e 4.6.2 das “Notas de Aulas”) Converta a equação polar
para cartesiana. Que curva é essa?
Os Itens de (4) a (10) a seguir devem ser postados no Moodle em um único arquivo pdf.
Os Itens de (4) a (10) a seguir devem ser postados no Moodle em um único arquivo pdf.
Passo 1
O enunciado pede para transformar a equação polar
em coordenadas cartesianas e identificar a curva resultante. Vamos usar as relações básicas de coordenadas polares para isso.
Passo 2
Começamos multiplicando ambos os lados pelo denominador para eliminar a fração. Assim:
Passo 3
Passo 4
Agora usamos as relações de passagem de polares para cartesianas:
e
. Em particular
e
. Substituindo em
obtemos
Passo 5
Passo 6
e daí
Passo 7
Passo 8
Isolamos a raiz e elevamos ao quadrado para eliminar o radical. Primeiro isolemos:
Passo 9
Passo 10
Elevando ao quadrado:
Passo 11
Passo 12
Reorganizando todos os termos no mesmo lado:
Passo 13
Passo 14
ou seja
Passo 15
Passo 16
Para reconhecer o tipo de curva, completamos o quadrado em
. Escrevemos
Passo 17
Passo 18
Note que
. Então:
Passo 19
Passo 20
Agrupando o quadrado perfeito e ajustando constantes:
Passo 21
Passo 22
Como
e
, temos
Passo 23
Passo 24
ou ainda, passando termos:
Passo 25
Passo 26
Dividindo tudo por
para obter a forma canônica:
Passo 27
Passo 28
Essa é a equação de uma hipérbole com centro em
, eixo transverso vertical, semi-eixo
e semi-eixo
.
Resposta
A curva resultante é uma hipérbole, cuja forma canônica é