(Subseções 4.6.1 e 4.6.2 das “Notas de Aulas”) Converta a equação polar r=73-5 sen(theta) para cartesiana. Que curva é essa?
Os Itens de (4) a (10) a seguir devem ser postados no Moodle em um único arquivo pdf.

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação polar r=73-5sen(theta) em coordenadas cartesianas e identificar a curva resultante. Vamos usar as relações básicas de coordenadas polares para isso.

Passo 2

Começamos multiplicando ambos os lados pelo denominador para eliminar a fração. Assim:

Passo 3

r,(3 - 5sen(theta)) = 7

Passo 4

Agora usamos as relações de passagem de polares para cartesianas: x = rcos(theta) e y = rsen(theta). Em particular rsen(theta)=y e r=raizx^2+y^2. Substituindo em 3r - 5rsen(theta)=7 obtemos

Passo 5

3,r - 5,y = 7

Passo 6

e daí

Passo 7

3raizx^2+y^2 - 5y = 7

Passo 8

Isolamos a raiz e elevamos ao quadrado para eliminar o radical. Primeiro isolemos:

Passo 9

3raizx^2+y^2 = 7 + 5y

Passo 10

Elevando ao quadrado:

Passo 11

9(x^2 + y^2) = (7 + 5y)^2 = 49 + 70y +25y^2

Passo 12

Reorganizando todos os termos no mesmo lado:

Passo 13

9x^2 +9y^2 -25y^2 -70y -49 =0

Passo 14

ou seja

Passo 15

9x^2 -16y^2 -70y -49 = 0

Passo 16

Para reconhecer o tipo de curva, completamos o quadrado em y. Escrevemos

Passo 17

9x^2 -16l(y^2 + tfrac7016yr) -49 =0

Passo 18

Note que tfrac7016=tfrac358. Então:

Passo 19

9x^2 -16l[y^2 + tfrac358y + l(tfrac3516r)^2 - l(tfrac3516r)^2r] -49 =0

Passo 20

Agrupando o quadrado perfeito e ajustando constantes:

Passo 21

9x^2 -16,(y + tfrac3516)^2 +16cdot tfrac1225256 -49 =0

Passo 22

Como 16cdottfrac1225256=tfrac122516 e tfrac122516-49=tfrac44116, temos

Passo 23

9x^2 -16(y + tfrac3516)^2 + tfrac44116 =0

Passo 24

ou ainda, passando termos:

Passo 25

16(y + tfrac3516)^2 -9x^2 = tfrac44116

Passo 26

Dividindo tudo por tfrac44116 para obter a forma canônica:

Passo 27

(y + tfrac3516)^2(21/16)^2 - x^2(7/4)^2 = 1

Passo 28

Essa é a equação de uma hipérbole com centro em (0,-35/16), eixo transverso vertical, semi-eixo a=21/16 e semi-eixo b=7/4.

Resposta

A curva resultante é uma hipérbole, cuja forma canônica é
(y + tfrac3516)^2(21/16)^2 - x^2(7/4)^2 = 1

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