Exercício 8. Classifique cada uma das afirmações abaixo em falsa (F) ou verdadeira (V), justificando sua resposta:
a) Sejam
uma matriz
e
uma matriz
. Se
tem infinitas soluções,
também tem infinitas soluções.
b) Sejam
uma matriz
e
uma matriz
. Se
tem somente a solução trivial,
tem solução única.
c) Todo sistema linear com matriz dos coeficientes quadrada tem solução única.
d) Um sistema linear com quatro equações e três variáveis pode ter uma única solução.
e) Todo sistema linear homogêneo (isto é, cujos termos independentes são todos iguais a zero) de três equações com quatro incógnitas possui uma infinidade de soluções.
f) Um sistema linear homogêneo com
equações e
incógnitas sempre tem soluções não triviais se
.
a) Sejam
b) Sejam
c) Todo sistema linear com matriz dos coeficientes quadrada tem solução única.
d) Um sistema linear com quatro equações e três variáveis pode ter uma única solução.
e) Todo sistema linear homogêneo (isto é, cujos termos independentes são todos iguais a zero) de três equações com quatro incógnitas possui uma infinidade de soluções.
f) Um sistema linear homogêneo com
Passo 1
O enunciado trata de sistemas lineares
e
onde
é uma matriz
. Vamos usar o conceito de posto (
) e a dimensão do espaço de soluções do sistema homogêneo:
Além disso, um sistema
é consistente se e somente se
, e então o número de graus de liberdade (variáveis livres) é
.
Passo 2
a) Se
tem infinitas soluções então
. Para o homogêneo temos
logo há infinitas soluções. Portanto a) é verdadeira.
Passo 3
b) “Se
tem só a solução trivial” significa
, ou seja
. Mas para
pode ocorrer
(isto é, o sistema pode ser inconsistente) e então não ter solução alguma. Logo não garante solução única, apenas que, se houver solução, ela será única. Portanto b) é falsa.
Passo 4
c) “Todo sistema com matriz quadrada tem solução única” implicaria que toda matriz quadrada é invertível (
), mas pode ser singular (
) e aí o sistema é inconsistente ou tem infinitas soluções. Logo c) é falsa.
Passo 5
d) Um sistema com 4 equações e 3 variáveis tem
,
. Se
e
, então há
variáveis livres e o sistema é consistente, dando exatamente uma solução. Logo d) é verdadeira.
Passo 6
e) Num sistema homogêneo com 3 equações e 4 incógnitas temos
,
e
. Então
isto é, sempre infinitas soluções. Portanto e) é verdadeira.
Passo 7
f) Num sistema homogêneo com
equações e
incógnitas,
. Se
então
logo há sempre soluções não triviais. Portanto f) é verdadeira.
Resposta
a) V
b) F
c) F
d) V
e) V
f) V
b) F
c) F
d) V
e) V
f) V