Exercício 8. Classifique cada uma das afirmações abaixo em falsa (F) ou verdadeira (V), justificando sua resposta:
a) Sejam A uma matriz m times n e B uma matriz m times 1. Se A X=B tem infinitas soluções, A X=0 também tem infinitas soluções.
b) Sejam A uma matriz m times n e B uma matriz m times 1. Se A X=0 tem somente a solução trivial, A X=B tem solução única.
c) Todo sistema linear com matriz dos coeficientes quadrada tem solução única.
d) Um sistema linear com quatro equações e três variáveis pode ter uma única solução.
e) Todo sistema linear homogêneo (isto é, cujos termos independentes são todos iguais a zero) de três equações com quatro incógnitas possui uma infinidade de soluções.
f) Um sistema linear homogêneo com m equações e n incógnitas sempre tem soluções não triviais se m<n.

Passo 1

O enunciado trata de sistemas lineares A X=B e A X=0 onde A é uma matriz mtimes n. Vamos usar o conceito de posto ( rank(A)) e a dimensão do espaço de soluções do sistema homogêneo:
dimsoluções de A X=0=n-rank(A) çõ
Além disso, um sistema A X=B é consistente se e somente se rank(A)=rank([Amid B]), e então o número de graus de liberdade (variáveis livres) é n-rank(A).

Passo 2

a) Se A X=B tem infinitas soluções então rank(A)=rank([Amid B])=r<n. Para o homogêneo temos
dimsols de A X=0=n-rank(A)=n-r>0,
logo há infinitas soluções. Portanto a) é verdadeira.

Passo 3

b) “Se A X=0 tem só a solução trivial” significa dimsols homogêneas=0ê, ou seja rank(A)=n. Mas para A X=B pode ocorrer rank([Amid B])>n (isto é, o sistema pode ser inconsistente) e então não ter solução alguma. Logo não garante solução única, apenas que, se houver solução, ela será única. Portanto b) é falsa.

Passo 4

c) “Todo sistema com matriz quadrada tem solução única” implicaria que toda matriz quadrada é invertível ( rank(A)=n), mas pode ser singular ( rank(A)<n) e aí o sistema é inconsistente ou tem infinitas soluções. Logo c) é falsa.

Passo 5

d) Um sistema com 4 equações e 3 variáveis tem m=4, n=3. Se rank(A)=3 e rank([Amid B])=3, então há n-rank(A)=3-3=0 variáveis livres e o sistema é consistente, dando exatamente uma solução. Logo d) é verdadeira.

Passo 6

e) Num sistema homogêneo com 3 equações e 4 incógnitas temos m=3, n=4 e rank(A)<=3. Então
dimsols homogêneas=4-rank(A)>=4-3=1>0, ê
isto é, sempre infinitas soluções. Portanto e) é verdadeira.

Passo 7

f) Num sistema homogêneo com m equações e n incógnitas, rank(A)<= m. Se m<n então
dimsols homogêneas=n-rank(A)>= n-m>0, ê
logo há sempre soluções não triviais. Portanto f) é verdadeira.

Resposta

a) V
b) F
c) F
d) V
e) V
f) V

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