Exercício 10 Esboce o gráfico das funções a seguir, seguindo o roteiro abaixo:
f(x)=e^{x}-x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=e^{x}-x.
Para isso vamos analisar passo a passo: domínio, interceptos, derivadas (monotonia e extremos), concavidade, limites e eventual assíntota oblíqua.

Passo 2

Domínio e interceptos:
– O domínio de f é todo \mathbb{R}, pois e^{x} está definido em todo real e subtrair x não introduz restrição.
– Intercepto em y: em x=0 temos
f(0)=e^{0}-0=1,
logo o ponto (0,1) é o intercepto com o eixo y.
– Intercepto em x: resolvemos e^{x}-x=0. Seja g(x)=e^{x}-x. Observando que g'(x)=e^{x}-1 e g(0)=1>0, vê-se que g(x)>0 para todo x, portanto não há raiz real e a curva nunca cruza o eixo x.

Passo 3

Derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}(e^{x}-x)=e^{x}-1,
f''(x)=\frac{d}{dx}(e^{x}-1)=e^{x}.

Passo 4

Monotonia e extremo:
f'(x)=0 em e^{x}=1, ou seja, em x=0.
– Para x<0, e^{x}<1 implica f'(x)<0, logo f é decrescente em (-\infty,0).
– Para x>0, e^{x}>1 implica f'(x)>0, logo f é crescente em (0,+\infty).
– Em x=0 há um mínimo local (e global), com valor
f(0)=1.

Passo 5

Concavidade:
Como f''(x)=e^{x}>0 para todo x, a curva é convexa (côncava para cima) em todo o seu domínio, sem pontos de inflexão.

Passo 6

Limites e assíntota oblíqua:
– Quando x\to+\infty, e^{x} domina e f(x)\to+\infty; não há assíntota horizontal.
– Quando x\to-\infty, e^{x}\to0 e
f(x)=e^{x}-x\sim -x.
Mais precisamente,
f(x)+x=e^{x}\to0,
logo a reta y=-x é assíntota oblíqua na esquerda.

Passo 7

Resumo do comportamento global:
– Para x\to-\infty, a curva vai de +\infty aproximando-se da reta y=-x por cima.
– Decrecente até o ponto (0,1), onde atinge o mínimo global.
– Crescente e convexa para x>0, subindo rapidamente para +\infty.
– Nunca corta o eixo x.

Resposta

O esboço do gráfico de f(x)=e^{x}-x apresenta:
– Domínio \mathbb{R}.
– Mínimo global em (0,1).
– Monotonia: decrescente em (-\infty,0) e crescente em (0,\infty).
– Concavidade para cima em todo \mathbb{R}.
– Assíntota oblíqua y=-x quando x\to-\infty.
– Sem intercepto em x.
Em síntese, é uma curva convexa que desce de +\infty (pela reta y=-x), atinge o mínimo em (0,1) e sobe para +\infty à direita.

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