Exercício 10 Esboce o gráfico das funções a seguir, seguindo o roteiro abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
Para isso vamos analisar passo a passo: domínio, interceptos, derivadas (monotonia e extremos), concavidade, limites e eventual assíntota oblíqua.
Passo 2
Domínio e interceptos:
– O domínio de é todo
, pois
está definido em todo real e subtrair
não introduz restrição.
– Intercepto em : em
temos
– O domínio de
– Intercepto em
logo o ponto
é o intercepto com o eixo
.
– Intercepto em : resolvemos
. Seja
. Observando que
e
, vê-se que
para todo
, portanto não há raiz real e a curva nunca cruza o eixo
.
– Intercepto em
Passo 3
Derivadas:
Passo 4
Monotonia e extremo:
– em
, ou seja, em
.
– Para ,
implica
, logo
é decrescente em
.
– Para ,
implica
, logo
é crescente em
.
– Em há um mínimo local (e global), com valor
–
– Para
– Para
– Em
Passo 5
Concavidade:
Como para todo
, a curva é convexa (côncava para cima) em todo o seu domínio, sem pontos de inflexão.
Como
Passo 6
Limites e assíntota oblíqua:
– Quando ,
domina e
; não há assíntota horizontal.
– Quando ,
e
– Quando
– Quando
Mais precisamente,
logo a reta
é assíntota oblíqua na esquerda.
Passo 7
Resumo do comportamento global:
– Para , a curva vai de
aproximando-se da reta
por cima.
– Decrecente até o ponto , onde atinge o mínimo global.
– Crescente e convexa para , subindo rapidamente para
.
– Nunca corta o eixo .
– Para
– Decrecente até o ponto
– Crescente e convexa para
– Nunca corta o eixo
Resposta
O esboço do gráfico de
apresenta:
– Domínio .
– Mínimo global em .
– Monotonia: decrescente em e crescente em
.
– Concavidade para cima em todo .
– Assíntota oblíqua quando
.
– Sem intercepto em .
Em síntese, é uma curva convexa que desce de (pela reta
), atinge o mínimo em
e sobe para
à direita.
– Domínio
– Mínimo global em
– Monotonia: decrescente em
– Concavidade para cima em todo
– Assíntota oblíqua
– Sem intercepto em
Em síntese, é uma curva convexa que desce de