Exercício 10 Esboce o gráfico das funções a seguir, seguindo o roteiro abaixo:
f(x)=\sqrt{\left|x^{2}-2\right|}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=\sqrt{\lvert x^{2}-2\rvert}
Aqui o conteúdo é análise de funções definidas por valor absoluto e raiz quadrada: vamos determinar domínio, simetria, forma em cada intervalo, pontos em que muda a expressão, monotonicidade, concavidade e assíntotas, para então descrever o esboço.

Passo 2

Domínio e simetria: como \lvert x^{2}-2\rvert\ge0 para todo x, a raiz está bem definida em \mathbb{R}. Logo o domínio é
\mathrm{Dom}(f)=(-\infty,\infty).
Além disso, f(-x)=\sqrt{\lvert(-x)^{2}-2\rvert}=\sqrt{\lvert x^{2}-2\rvert}=f(x), isto é, f é função par (simétrica em relação ao eixo y).

Passo 3

Escrevendo em forma piecewise, note que \lvert x^{2}-2\rvert muda de sinal em x^{2}-2=0, isto é, em x=\pm\sqrt2. Temos
f(x)= \begin{cases} \sqrt{2 - x^{2}},&|x|\le\sqrt2,\\\ \sqrt{x^{2} - 2},&|x|\ge\sqrt2. \end{cases}

Passo 4

Zeramento e interceptos:
– Para |x|\le\sqrt2, \sqrt{2-x^{2}}=0 quando x^{2}=2, isto é, em x=\pm\sqrt2.
– Para |x|\ge\sqrt2, \sqrt{x^{2}-2}=0 também só em x^{2}=2.
Logo f(\pm\sqrt2)=0. Em x=0 temos f(0)=\sqrt{2}.

Passo 5

Monotonicidade:
  • No intervalo [-\,\sqrt2,\sqrt2], f(x)=\sqrt{2-x^{2}} é decrescente em [0,\sqrt2] e crescente em [-\sqrt2,0] (forma de semicírculo).
  • Em x\ge\sqrt2, a derivada
f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-2}}>0,
portanto é crescente para x>\sqrt2.
  • Em x\le-\sqrt2, o mesmo cálculo dá f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-2}}<0, logo decrescente para x<-\sqrt2.

Passo 6

Concavidade:
Em ambos os ramos a segunda derivada vem negativa. Por exemplo, para |x|>\sqrt2,
f''(x)=-\frac{2}{(x^{2}-2)^{3/2}}<0,
e para |x|<\sqrt2 também se obtém f''(x)=-2/(2-x^{2})^{3/2}<0. Logo o gráfico é côncavo para baixo em toda a reta, com um “bico” não diferenciável em x=\pm\sqrt2.

Passo 7

Assíntotas:
Ao crescer \lvert x\rvert\to\infty,
\sqrt{x^{2}-2} =|x|\sqrt{1-\frac{2}{x^{2}}} \approx |x|-\frac{1}{|x|},
então há retas oblíquas assíntotas
y=x\quad(x\to+\infty), \qquad y=-x\quad(x\to-\infty).

Passo 8

Descrição final do esboço:
  • No intervalo [-\,\sqrt2,\sqrt2] o gráfico é a metade superior de um círculo de raio \sqrt2, com vértice em (0,\sqrt2) e apoiado em (\pm\sqrt2,0).
  • Para x\ge\sqrt2, o ramo cresce a partir de (\sqrt2,0), curvando-se para baixo e aproximando-se da reta y=x.
  • Para x\le-\sqrt2, o ramo cresce “para baixo” a partir de (-\sqrt2,0), aproximando-se da reta y=-x.
    Tudo isso é simétrico em relação ao eixo y.

Resposta

O gráfico consiste em:
(a) semicírculo de raio \sqrt2 sobre o eixo x entre -\sqrt2 e \sqrt2, com parte superior;
(b) dois ramos para |x|\ge\sqrt2 dados por y=\sqrt{x^{2}-2}, que são crescentes em [\sqrt2,\infty) e decrescentes em (-\infty,-\sqrt2], curvados para baixo e com assíntotas y=x e y=-x.

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