Exercício 10 Esboce o gráfico das funções a seguir, seguindo o roteiro abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
Aqui o conteúdo é análise de funções definidas por valor absoluto e raiz quadrada: vamos determinar domínio, simetria, forma em cada intervalo, pontos em que muda a expressão, monotonicidade, concavidade e assíntotas, para então descrever o esboço.
Passo 2
Domínio e simetria: como
para todo
, a raiz está bem definida em
. Logo o domínio é
Além disso,
, isto é,
é função par (simétrica em relação ao eixo
).
Passo 3
Escrevendo em forma piecewise, note que
muda de sinal em
, isto é, em
. Temos
Passo 4
Zeramento e interceptos:
– Para ,
quando
, isto é, em
.
– Para ,
também só em
.
Logo . Em
temos
.
– Para
– Para
Logo
Passo 5
Monotonicidade:
- No intervalo
, é decrescente em e crescente em (forma de semicírculo). - Em
, a derivada
portanto é crescente para
.
- Em
, o mesmo cálculo dá , logo decrescente para .
Passo 6
Concavidade:
Em ambos os ramos a segunda derivada vem negativa. Por exemplo, para ,
Em ambos os ramos a segunda derivada vem negativa. Por exemplo, para
e para
também se obtém
. Logo o gráfico é côncavo para baixo em toda a reta, com um “bico” não diferenciável em
.
Passo 7
Assíntotas:
Ao crescer ,
Ao crescer
então há retas oblíquas assíntotas
Passo 8
Descrição final do esboço:
- No intervalo
o gráfico é a metade superior de um círculo de raio , com vértice em e apoiado em . - Para
, o ramo cresce a partir de , curvando-se para baixo e aproximando-se da reta . - Para
, o ramo cresce “para baixo” a partir de , aproximando-se da reta .
Tudo isso é simétrico em relação ao eixo.
Resposta
O gráfico consiste em:
(a) semicírculo de raio sobre o eixo
entre
e
, com parte superior;
(b) dois ramos para dados por
, que são crescentes em
e decrescentes em
, curvados para baixo e com assíntotas
e
.
(a) semicírculo de raio
(b) dois ramos para