Exercício 10 Esboce o gráfico das funções a seguir, seguindo o roteiro abaixo:
f(x)=\left(x^{3}-4 x^{2}+4 x\right) e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de
f(x) = \bigl(x^{3} - 4x^{2} + 4x\bigr)\,e^{-x}.
O conteúdo é análise completa de função: domínio e zeros, limites (comportamento nas extremidades), derivada primeira (monotonia e extremos), derivada segunda (concavidade e inflexões) e, por fim, desenho qualitativo do gráfico.

Passo 2

Domínio e interceptos:
– Como f é produto de polinômio por e^{-x}, o domínio é todo \mathbb{R}.
– Intercepto em y: f(0) = (0 - 0 + 0)e^{0} = 0, logo passa em (0,0).
– Zeros de f: resolvemos
x^{3} - 4x^{2} + 4x = x\,(x^{2} - 4x + 4) = x\,(x-2)^{2} = 0,
portanto raízes em x=0 (simples) e x=2 (multiplicidade 2).

Passo 3

Limites e assíntotas horizontais:
– Quando x\to +\infty, o fator e^{-x}\to 0 domina o polinômio e
\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0.
Isso indica a assíntota horizontal y=0 pela direita.
– Quando x\to -\infty, temos x^{3}\to -\infty e e^{-x}\to+\infty, de modo que
\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty.

Passo 4

Derivada primeira e monotonia:
Aplicando regra do produto e (e^{-x})' = -e^{-x}, obtemos
f'(x) = \bigl(3x^{2}-8x+4\bigr)e^{-x} - \bigl(x^{3}-4x^{2}+4x\bigr)e^{-x} = \bigl(-x^{3}+7x^{2}-12x+4\bigr)\,e^{-x}.
Como e^{-x}>0, basta estudar o sinal de
p(x) = -x^{3}+7x^{2}-12x+4 = -\bigl(x^{3}-7x^{2}+12x-4\bigr).
As raízes de q(x)=x^{3}-7x^{2}+12x-4 são
x = 2,\quad x = \frac{5\pm\sqrt{17}}{2}\approx 0,438\text{ e }4,562.
Fazendo o chart de sinal de p(x), concluímos:
f'(x)>0 em (-\infty,0{,}438), cresce até o primeiro ponto crítico.
f'(x)<0 em (0{,}438,2), decresce até x=2.
f'(x)>0 em (2,4{,}562), cresce até o terceiro ponto crítico.
f'(x)<0 para x>4{,}562, decresce daí em diante.
Os extremos são:
– em x\approx0{,}438 há máximo local,
– em x=2 mínimo local com valor f(2)=0,
– em x\approx4{,}562 outro máximo local.

Passo 5

Derivada segunda e concavidade:
Diferenciando f'(x) usa-se de novo regra do produto, chegando a
f''(x) = \bigl(x^{3} - 10x^{2} + 26x -16\bigr)\,e^{-x}.
Estudando o sinal do polinômio cúbico
r(x)=x^{3} - 10x^{2} + 26x -16
por métodos numéricos, as raízes aproximadas são
x\approx0{,}89,\quad x\approx2{,}85,\quad x\approx6{,}24.
Concluímos:
f''(x)<0 em (-\infty,0{,}89), concavidade para baixo.
f''(x)>0 em (0{,}89,2{,}85), concavidade para cima.
f''(x)<0 em (2{,}85,6{,}24), concavidade para baixo.
f''(x)>0 em (6{,}24,+\infty), concavidade para cima.
Os pontos de inflexão são em x\approx0{,}89, 2{,}85 e 6{,}24.

Passo 6

Síntese para o esboço:
– Zeros em x=0 e x=2.
– Cresce de -\infty até x\approx0{,}438, atinge máximo f\approx0{,}69.
– Cai até x=2, onde f(2)=0 (mínimo local).
– Sobe novamente até x\approx4{,}562, máximo f\approx0{,}31.
– Para x\to+\infty, decresce e tende a y=0 (concavo para cima após x\approx6{,}24).
– Para x\to-\infty, vai a -\infty.
Com essas informações, trace o eixo x, o eixo y, marque os pontos críticos e mude a concavidade nos pontos de inflexão, ligando tudo com curva suave que se aproxima horizontalmente de y=0 pela direita.

Resposta

Esboço qualitativo do gráfico de f(x)=\bigl(x^{3}-4x^{2}+4x\bigr)e^{-x} conforme descrito acima. (Assimétrica, cruza em (0,0) e (2,0), tem máximos locais em x\approx0{,}438 e x\approx4{,}562, mínimo local em (2,0), inflexões em x\approx0{,}89,2{,}85,6{,}24 e assíntota horizontal y=0 em x\to+\infty.)

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