Exercício 10 Esboce o gráfico das funções a seguir, seguindo o roteiro abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de
O conteúdo é análise completa de função: domínio e zeros, limites (comportamento nas extremidades), derivada primeira (monotonia e extremos), derivada segunda (concavidade e inflexões) e, por fim, desenho qualitativo do gráfico.
Passo 2
Domínio e interceptos:
– Como é produto de polinômio por
, o domínio é todo
.
– Intercepto em :
, logo passa em
.
– Zeros de : resolvemos
– Como
– Intercepto em
– Zeros de
portanto raízes em
(simples) e
(multiplicidade 2).
Passo 3
Limites e assíntotas horizontais:
– Quando , o fator
domina o polinômio e
– Quando
Isso indica a assíntota horizontal
pela direita.
– Quando , temos
e
, de modo que
– Quando
Passo 4
Derivada primeira e monotonia:
Aplicando regra do produto e , obtemos
Aplicando regra do produto e
Como
, basta estudar o sinal de
As raízes de
são
Fazendo o chart de sinal de
, concluímos:
– em
, cresce até o primeiro ponto crítico.
– em
, decresce até
.
– em
, cresce até o terceiro ponto crítico.
– para
, decresce daí em diante.
–
–
–
–
Os extremos são:
– em há máximo local,
– em mínimo local com valor
,
– em outro máximo local.
– em
– em
– em
Passo 5
Derivada segunda e concavidade:
Diferenciando usa-se de novo regra do produto, chegando a
Diferenciando
Estudando o sinal do polinômio cúbico
por métodos numéricos, as raízes aproximadas são
Concluímos:
– em
, concavidade para baixo.
– em
, concavidade para cima.
– em
, concavidade para baixo.
– em
, concavidade para cima.
–
–
–
–
Os pontos de inflexão são em
,
e
.
Passo 6
Síntese para o esboço:
– Zeros em e
.
– Cresce de até
, atinge máximo
.
– Cai até , onde
(mínimo local).
– Sobe novamente até , máximo
.
– Para , decresce e tende a
(concavo para cima após
).
– Para , vai a
.
– Zeros em
– Cresce de
– Cai até
– Sobe novamente até
– Para
– Para
Com essas informações, trace o eixo
, o eixo
, marque os pontos críticos e mude a concavidade nos pontos de inflexão, ligando tudo com curva suave que se aproxima horizontalmente de
pela direita.
Resposta
Esboço qualitativo do gráfico de
conforme descrito acima. (Assimétrica, cruza em
e
, tem máximos locais em
e
, mínimo local em
, inflexões em
e assíntota horizontal
em
.)