Exercício 9 No espaço vetorial
seja
definido por
:
e
. Verifique que
é um subespaço vetorial. Encontre uma base de
(sugestão: resolva o sistema linear que define
). O vetor
?
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
e o subconjunto
definido pelas equações
e
. Precisamos mostrar que
é um subespaço vetorial de
, encontrar uma base de
e verificar se o vetor
pertence a
. Vamos usar conceitos de subespaço e resolver o sistema linear homogêneo que define
.
Passo 2
Como
é o conjunto de soluções de equações lineares homogêneas, ele é o núcleo de aplicações lineares (funções que mandam
em
e em
). Logo,
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, o que garante que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 3
Para parametrizar
, escrevemos o sistema:
Passo 4
Da primeira equação temos
. Substituindo na segunda:
Passo 5
Logo um vetor genérico em
é
Como
Passo 6
Para verificar se
, testamos as equações:
Passo 7
Como a segunda soma não é zero, o vetor
não pertence a
.
Resposta
W é subespaço de
. Uma base de
é {(1,-1,0,0), (0,0,1,-1)}. O vetor (1,-1,2,3) não pertence a W.