Exercício 9 No espaço vetorial V=R^4 seja W subset V definido por x1+x2+x3+x4=0 : W e W. Verifique que W é um subespaço vetorial. Encontre uma base de (1,-1,2,3) in W (sugestão: resolva o sistema linear que define ). O vetor ?

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=R^4 e o subconjunto Wsubset V definido pelas equações x1+x2+x3+x4=0 e x1+x2=0. Precisamos mostrar que W é um subespaço vetorial de V, encontrar uma base de W e verificar se o vetor (1,-1,2,3) pertence a W. Vamos usar conceitos de subespaço e resolver o sistema linear homogêneo que define W.

Passo 2

Como W é o conjunto de soluções de equações lineares homogêneas, ele é o núcleo de aplicações lineares (funções que mandam (x1,x2,x3,x4) em x1+x2 e em x1+x2+x3+x4). Logo, W contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, o que garante que W é um subespaço vetorial de V.

Passo 3

Para parametrizar W, escrevemos o sistema:
x1 + x2 = 0, x1 + x2 + x3 + x4 = 0

Passo 4

Da primeira equação temos x2 = -x1. Substituindo na segunda:
x1 + (-x1) + x3 + x4 = 0 implies x3 + x4 = 0 implies x4 = -x3

Passo 5

Logo um vetor genérico em W é
(x1,x2,x3,x4) = (x1,-x1,x3,-x3) = x1(1,-1,0,0) + x3(0,0,1,-1)
Como x1 e x3 são parâmetros livres, uma base de W é dada pelos vetores
(1,-1,0,0)e(0,0,1,-1)

Passo 6

Para verificar se (1,-1,2,3)in W, testamos as equações:
1 + (-1) = 0(ok), 1 - 1 + 2 + 3 = 5 neq 0

Passo 7

Como a segunda soma não é zero, o vetor (1,-1,2,3) não pertence a W.

Resposta

W é subespaço de R^4. Uma base de W é {(1,-1,0,0), (0,0,1,-1)}. O vetor (1,-1,2,3) não pertence a W.

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