Exercício 10. Este exercício trata de vetores paralelos a um certo plano fixado. Vamos denotar por
o conjunto de tais vetores. Com o que sabemos do conceito de L.I., uma base qualquer de
é uma sequência de 2 vetores L.I. (assim como uma base qualquer de
é uma sequência de 3 vetores L.I.). Nos itens (a) e (b) abaixo, cada uma das bases
e
são formadas por vetores expressos a partir de uma base
qualquer pré-fixada.
Obtenha a matriz de mudança da base
para a base
.
Obtenha a matriz de mudança da base
Passo 1
O enunciado pede a matriz de mudança de base de
para
. Aqui
e
são bases de um espaço de dimensão 2, dadas em coordenadas de uma base fixa
. Para encontrar a matriz de mudança de base de
para
, basta expressar cada vetor da base
como combinação linear dos vetores da base
. As coordenadas dessas combinações são as colunas da matriz procurada.
Passo 2
Em coordenadas de
temos:
Passo 3
Para escrever
em função de
e
buscamos
tais que
Da segunda componente vem
. Da primeira vem
logo
. Assim
Passo 4
Para
fazemos
. Da segunda componente
. Da primeira
logo
. Assim
Passo 5
A matriz de mudança de base de
para
tem como colunas
e
. Logo