Exercício 10. Este exercício trata de vetores paralelos a um certo plano fixado. Vamos denotar por V^2 o conjunto de tais vetores. Com o que sabemos do conceito de L.I., uma base qualquer de V^2 é uma sequência de 2 vetores L.I. (assim como uma base qualquer de V^3 é uma sequência de 3 vetores L.I.). Nos itens (a) e (b) abaixo, cada uma das bases E e F são formadas por vetores expressos a partir de uma base B qualquer pré-fixada.
Obtenha a matriz de mudança da base E=((3,-2)B,(-4,3)B) para a base F=((1,0)B,(1,1)B).

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base de E para F. Aqui E e F são bases de um espaço de dimensão 2, dadas em coordenadas de uma base fixa B. Para encontrar a matriz de mudança de base de E para F, basta expressar cada vetor da base E como combinação linear dos vetores da base F. As coordenadas dessas combinações são as colunas da matriz procurada.

Passo 2

Em coordenadas de B temos:
e1=(3,-2), e2=(-4,3),
f1=(1,0), f2=(1,1)

Passo 3

Para escrever e1 em função de f1 e f2 buscamos ,a,b tais que
a,f1+b,f2=(a+b,;b)=(3,-2)
Da segunda componente vem b=-2. Da primeira vem a+b=3 logo a=5. Assim
[e1]F=5-2

Passo 4

Para e2 fazemos a,f1+b,f2=(a+b,;b)=(-4,3). Da segunda componente b=3. Da primeira a+b=-4 logo a=-7. Assim
[e2]F=-73

Passo 5

A matriz de mudança de base de E para F tem como colunas [e1]F e [e2]F. Logo
PF E = 5 & -7 -2 & 3

Resposta

5 & -7 -2 & 3

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