As questões 9-18 são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: x+y e c x (e então todas as combinações lineares c x+d y ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Os subespaços de R^3 são planos, retas, o próprio R^3, ou Z=(0,0,0).
(a) Descreva os três tipos de subespaços de R^2.
(b) Descreva todos os subespaços de D, o espaço das matrizes diagonais 2 por 2 .

Passo 1

O enunciado pede que a gente liste todos os subespaços de dois espaços vetoriais: primeiro de R^2 e depois de
D = la&00&b:a,bin Rr
Lembrando que os subespaços são exatamente os subconjuntos que contêm o vetor zero e são fechados em soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Em qualquer espaço vetorial de dimensão n, os subespaços têm dimensão 0,1,dots,n. No caso de R^2 (dimensão 2), só dá para ter dimensão 0, 1 ou 2.

Passo 3

(a) Em R^2:
  • Dimensão 0: o subespaço trivial (0,0).
  • Dimensão 1: toda reta que passa pela origem, ou seja, L(a,b)=t,(a,b)colon tin R, para algum (a,b)neq(0,0).
  • Dimensão 2: o próprio R^2.

Passo 4

(b) Em D: note que
Dcong R^2, a&00&blong<=ftrightarrow(a,b)
Logo os subespaços de D são exatamente os correspondentes a subespaços de R^2:
  • Dimensão 0: 0=l0&00&0r.
  • Dimensão 1: linhas através da matriz zero, ou seja, lta&00&b:tin Rr, para algum a&00&bneq0.
  • Dimensão 2: o próprio D.

Resposta

(a) Em R^2:
(0,0), todas as retas t(a,b)colon tin R com (a,b)neq(0,0), e R^2.
(b) Em D:
0, todas as linhas ,ta&00&b:tin R com a&00&bneq0, e D inteiro.

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