As questões
são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço:
e
(e então todas as combinações lineares
) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Os subespaços de
são planos, retas, o próprio
, ou
.
(a) Descreva os três tipos de subespaços de
.
(b) Descreva todos os subespaços de
, o espaço das matrizes diagonais 2 por 2 .
Os subespaços de
(a) Descreva os três tipos de subespaços de
(b) Descreva todos os subespaços de
Passo 1
O enunciado pede que a gente liste todos os subespaços de dois espaços vetoriais: primeiro de
e depois de
Lembrando que os subespaços são exatamente os subconjuntos que contêm o vetor zero e são fechados em soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Em qualquer espaço vetorial de dimensão
, os subespaços têm dimensão
. No caso de
(dimensão 2), só dá para ter dimensão 0, 1 ou 2.
Passo 3
(a) Em
:
- Dimensão 0: o subespaço trivial
. - Dimensão 1: toda reta que passa pela origem, ou seja,
para algum . - Dimensão 2: o próprio
.
Passo 4
(b) Em
: note que
Logo os subespaços de
são exatamente os correspondentes a subespaços de
:
- Dimensão 0:
. - Dimensão 1: linhas através da matriz zero, ou seja,
para algum . - Dimensão 2: o próprio
.
Resposta
(a) Em
:
, todas as retas
com
, e
.
(b) Em
:
, todas as linhas
com
, e
inteiro.