As questões 9-18 são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: x+y e c x (e então todas as combinações lineares c x+d y ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
(a) A interseção de dois planos que passam por (0,0,0) é provavelmente uma em R^3, mas poderia ser um . Não pode ser Z !
(b) A interseção de um plano que passa por (0,0,0) com uma reta que passa por (0,0,0) é provavelmente um mas poderia ser um —.
(c) Se S e T são subespaços de R^5, prove que sua interseção S cap T é um subespaço de R^5. Aqui S cap T consiste dos vetores que estão em ambos os subespaços. Verifique que x+y e c x estão em S cap T se x e y estão em ambos os espaços.

Passo 1

O enunciado trata das condições para que um subconjunto seja subespaço: fechamentos em soma e multiplicação por escalar.
(a) Pede-se que completemos os tipos de interseção de dois planos em R^3.
(b) Pede-se que completemos os tipos de interseção de um plano e uma reta em R^3.
(c) Pede-se provar que, se S e T são subespaços de R^5, então Scap T também é subespaço, verificando fechamento em soma e em escalares.

Passo 2

(a) Em R^3, dois planos que passam pela origem têm dimensão 2 cada. Pela fórmula dim(Ucap V)=dim U+dim V-dim(U+V), tipicamente dim(U+V)=3, logo
dim(Ucap V)=2+2-3=1,
ou seja, a interseção é uma reta. Se os dois planos coincidirem, então dim(U+V)=2 e
dim(Ucap V)=2+2-2=2,
portanto a interseção seria um plano. Note que não pode ser apenas o vetor zero, pois sempre sobra pelo menos uma reta comum.

Passo 3

(b) Em R^3, um plano de dimensão 2 e uma reta de dimensão 1 que passam ambos pela origem podem intersectar de duas maneiras:
– Se a reta não estiver contida no plano, a única solução comum é o ponto zero (origem).
– Se a reta estiver inteiramente no plano, a interseção é a reta inteira.

Passo 4

(c) Para mostrar que Scap T é subespaço de R^5, verificamos:
  1. 0in S e 0in T (pois S,T são subespaços), logo 0in Scap T.
  2. Se x,yin Scap T, então x,yin S e x,yin T. Como S e T são fechados sob soma, temos x+yin S e x+yin T, logo x+yin Scap T.
  3. Se xin Scap T e cinR, então xin S e xin T. Como S e T são fechados sob multiplicação por escalar, c,xin S e c,xin T, logo c,xin Scap T.
    Assim, Scap T contém o vetor zero e é fechado em soma e escalar, ou seja, é subespaço de R^5.

Resposta

(a) reta; plano.
(b) ponto (origem); reta.
(c) Scap T é subespaço de R^5 porque contém 0 e é fechado em soma e multiplicação por escalar.

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