As questões
são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço:
e
(e então todas as combinações lineares
) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
(a) A interseção de dois planos que passam por
é provavelmente uma
em
, mas poderia ser um
. Não pode ser
!
(b) A interseção de um plano que passa por
com uma reta que passa por
é provavelmente um
mas poderia ser um
—.
(c) Se
e
são subespaços de
, prove que sua interseção
é um subespaço de
. Aqui
consiste dos vetores que estão em ambos os subespaços. Verifique que
e
estão em
se x e y estão em ambos os espaços.
(a) A interseção de dois planos que passam por
(b) A interseção de um plano que passa por
(c) Se
Passo 1
O enunciado trata das condições para que um subconjunto seja subespaço: fechamentos em soma e multiplicação por escalar.
(a) Pede-se que completemos os tipos de interseção de dois planos em .
(b) Pede-se que completemos os tipos de interseção de um plano e uma reta em .
(c) Pede-se provar que, se e
são subespaços de
, então
também é subespaço, verificando fechamento em soma e em escalares.
(a) Pede-se que completemos os tipos de interseção de dois planos em
(b) Pede-se que completemos os tipos de interseção de um plano e uma reta em
(c) Pede-se provar que, se
Passo 2
(a) Em
, dois planos que passam pela origem têm dimensão
cada. Pela fórmula
, tipicamente
, logo
ou seja, a interseção é uma reta. Se os dois planos coincidirem, então
e
portanto a interseção seria um plano. Note que não pode ser apenas o vetor zero, pois sempre sobra pelo menos uma reta comum.
Passo 3
(b) Em
, um plano de dimensão
e uma reta de dimensão
que passam ambos pela origem podem intersectar de duas maneiras:
– Se a reta não estiver contida no plano, a única solução comum é o ponto zero (origem).
– Se a reta estiver inteiramente no plano, a interseção é a reta inteira.
– Se a reta não estiver contida no plano, a única solução comum é o ponto zero (origem).
– Se a reta estiver inteiramente no plano, a interseção é a reta inteira.
Passo 4
(c) Para mostrar que
é subespaço de
, verificamos:
-
e (pois são subespaços), logo . - Se
, então e . Como e são fechados sob soma, temos e , logo . - Se
e , então e . Como e são fechados sob multiplicação por escalar, e , logo .
Assim,contém o vetor zero e é fechado em soma e escalar, ou seja, é subespaço de .
Resposta
(a) reta; plano.
(b) ponto (origem); reta.
(c) é subespaço de
porque contém
e é fechado em soma e multiplicação por escalar.
(b) ponto (origem); reta.
(c)