Exercício 6. Em cada caso, calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - O objetivo é encontrar o valor do limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Primeiro teste: tentar substituir
diretamente para ver se obtemos um valor imediato ou uma forma indeterminada.
Calcular o numerador em
:
Calcular o denominador em
:
Portanto, a substituição direta dá a forma indeterminada
. Quando isso ocorre, precisamos manipular a expressão algébrica para eliminar a indeterminação antes de avaliar o limite.
Passo 3
Uma técnica clássica para eliminar raízes quadradas é multiplicar por conjugados, usando a identidade diferença de quadrados:
que elimina as raízes quando
ou
são expressões com raiz. Vou primeiro multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, isto é, por
. Multiplicar por esse conjugado não altera a expressão pois multiplicamos por
na forma
.
Fazendo isso:
Agora aplico diferença de quadrados no numerador:
Logo a expressão vira
É útil escrever
como
, porque
aparece naturalmente ao fatorar a diferença de quadrados no passo seguinte:
Passo 4
Agora vejo que há um fator
no denominador; posso eliminar a indeterminação multiplicando numerador e denominador pelo conjugado desse fator, isto é, por
. Novamente multiplico por
na forma
:
Aplicando diferença de quadrados no produto
:
Substituindo isso na expressão:
Como estamos interessados no limite quando
(e para
podemos cancelar fatores), cancelamos o fator comum
no numerador e no denominador:
Agora a expressão equivalente já não é indeterminada e podemos avaliar o limite fazendo
.
Passo 5
Substituir
na expressão simplificada:
Calcular as raízes:
Então
Resposta
-\frac{3}{2}