Exercício 6. Em cada caso, calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2-\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+7}-3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{2-\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+7}-3}.
Informações dadas:
  • A expressão do numerador é 2-\sqrt{x+2}.
  • A expressão do denominador é \sqrt{x+7}-3.
  • O objetivo é encontrar o valor do limite quando x se aproxima de 2.

Passo 2

Primeiro teste: tentar substituir x=2 diretamente para ver se obtemos um valor imediato ou uma forma indeterminada.
Calcular o numerador em x=2:
2-\sqrt{2+2}=2-\sqrt{4}=2-2=0.
Calcular o denominador em x=2:
\sqrt{2+7}-3=\sqrt{9}-3=3-3=0.
Portanto, a substituição direta dá a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Quando isso ocorre, precisamos manipular a expressão algébrica para eliminar a indeterminação antes de avaliar o limite.

Passo 3

Uma técnica clássica para eliminar raízes quadradas é multiplicar por conjugados, usando a identidade diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=a^2-b^2,
que elimina as raízes quando a ou b são expressões com raiz. Vou primeiro multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, isto é, por 2+\sqrt{x+2}. Multiplicar por esse conjugado não altera a expressão pois multiplicamos por 1 na forma \dfrac{2+\sqrt{x+2}}{2+\sqrt{x+2}}.
Fazendo isso:
\frac{2-\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+7}-3} = \frac{(2-\sqrt{x+2})(2+\sqrt{x+2})}{(\sqrt{x+7}-3)(2+\sqrt{x+2})}.
Agora aplico diferença de quadrados no numerador:
(2-\sqrt{x+2})(2+\sqrt{x+2})=2^2-(\sqrt{x+2})^2=4-(x+2)=2-x.
Logo a expressão vira
\frac{2-x}{(\sqrt{x+7}-3)(2+\sqrt{x+2})}.
É útil escrever 2-x como -(x-2), porque x-2 aparece naturalmente ao fatorar a diferença de quadrados no passo seguinte:
\frac{2-x}{(\sqrt{x+7}-3)(2+\sqrt{x+2})} = \frac{-(x-2)}{(\sqrt{x+7}-3)(2+\sqrt{x+2})}.

Passo 4

Agora vejo que há um fator (\sqrt{x+7}-3) no denominador; posso eliminar a indeterminação multiplicando numerador e denominador pelo conjugado desse fator, isto é, por \sqrt{x+7}+3. Novamente multiplico por 1 na forma \dfrac{\sqrt{x+7}+3}{\sqrt{x+7}+3}:
\frac{-(x-2)}{(\sqrt{x+7}-3)(2+\sqrt{x+2})} = \frac{-(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}{(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)(2+\sqrt{x+2})}.
Aplicando diferença de quadrados no produto (\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3):
(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)=(\sqrt{x+7})^2-3^2=(x+7)-9=x-2.
Substituindo isso na expressão:
\frac{-(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}{(x-2)(2+\sqrt{x+2})}.
Como estamos interessados no limite quando x\to 2 (e para x\neq 2 podemos cancelar fatores), cancelamos o fator comum x-2 no numerador e no denominador:
\frac{-(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}{(x-2)(2+\sqrt{x+2})} = \frac{-(\sqrt{x+7}+3)}{2+\sqrt{x+2}},\qquad \text{para }x\neq 2.
Agora a expressão equivalente já não é indeterminada e podemos avaliar o limite fazendo x\to 2.

Passo 5

Substituir x=2 na expressão simplificada:
\lim_{x\to 2}\frac{-(\sqrt{x+7}+3)}{2+\sqrt{x+2}} = \frac{-(\sqrt{2+7}+3)}{2+\sqrt{2+2}} = \frac{-(\sqrt{9}+3)}{2+\sqrt{4}}.
Calcular as raízes:
\sqrt{9}=3,\qquad \sqrt{4}=2.
Então
\frac{-(3+3)}{2+2}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}.

Resposta

-\frac{3}{2}

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