Exercício 6. Em cada caso, calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função em questão é a razão
. - O ponto de interesse é
.
Não se faz mais nada neste passo além de listar o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Primeiro teste: substituir
diretamente para ver o tipo de indeterminação.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada
. Quando isso acontece, não podemos decidir o valor do limite por substituição direta — é preciso manipular a expressão (por exemplo algebraicamente) para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Uma manipulação útil aqui é fazer a substituição
. Isso é permitido porque quando
temos
, isto é
. Além disso,
. A vantagem é que a raiz quadrada fica como uma variável simples
, o que facilita as operações algébricas.
Logo, o limite é equivalente a
Passo 4
Agora vamos eliminar a indeterminação racionalizando o denominador (usar o conjugado). Multiplicamos numerador e denominador por
:
No denominador usamos a identidade
.
Passo 5
Calcule o que ficou no denominador e simplifique:
Portanto a expressão vira
Agora fatoramos
e observamos que
. Substituindo:
onde cancelamos o fator comum
(válido para
; para o cálculo do limite isso é exatamente o que queremos).
Passo 6
Tornamos o limite sobre a expressão simplificada:
A função que aparece no integrando após a simplificação é contínua em
(raízes e somas são contínuas), então basta substituir
diretamente na expressão:
Passo 7
Simplificando a expressão obtida:
Resposta
-2