Exercício 6. Em cada caso, calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1} \frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}-2}.
Informações dadas:
  • A função em questão é a razão \dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}-2}.
  • O ponto de interesse é x\to 1.
    Não se faz mais nada neste passo além de listar o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Primeiro teste: substituir x=1 diretamente para ver o tipo de indeterminação.
1-\sqrt{1}=1-1=0, \qquad \sqrt{1+3}-2=\sqrt{4}-2=2-2=0.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0. Quando isso acontece, não podemos decidir o valor do limite por substituição direta — é preciso manipular a expressão (por exemplo algebraicamente) para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Uma manipulação útil aqui é fazer a substituição \,t=\sqrt{x}\,. Isso é permitido porque quando x\to 1 temos \sqrt{x}\to 1, isto é t\to 1. Além disso, x=t^2. A vantagem é que a raiz quadrada fica como uma variável simples t, o que facilita as operações algébricas.
Logo, o limite é equivalente a
\lim_{t\to 1} \frac{1-t}{\sqrt{t^2+3}-2}.

Passo 4

Agora vamos eliminar a indeterminação racionalizando o denominador (usar o conjugado). Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{t^2+3}+2:
\frac{1-t}{\sqrt{t^2+3}-2}\cdot\frac{\sqrt{t^2+3}+2}{\sqrt{t^2+3}+2} = \frac{(1-t)\bigl(\sqrt{t^2+3}+2\bigr)}{(\sqrt{t^2+3})^2-2^2}.
No denominador usamos a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2.

Passo 5

Calcule o que ficou no denominador e simplifique:
(\sqrt{t^2+3})^2-2^2 = (t^2+3)-4 = t^2-1.
Portanto a expressão vira
\frac{(1-t)\bigl(\sqrt{t^2+3}+2\bigr)}{t^2-1}.
Agora fatoramos t^2-1=(t-1)(t+1) e observamos que 1-t=-(t-1). Substituindo:
\frac{(1-t)\bigl(\sqrt{t^2+3}+2\bigr)}{(t-1)(t+1)} = \frac{-(t-1)\bigl(\sqrt{t^2+3}+2\bigr)}{(t-1)(t+1)} = -\frac{\sqrt{t^2+3}+2}{t+1},
onde cancelamos o fator comum t-1 (válido para t\neq 1; para o cálculo do limite isso é exatamente o que queremos).

Passo 6

Tornamos o limite sobre a expressão simplificada:
\lim_{t\to 1} -\frac{\sqrt{t^2+3}+2}{t+1}.
A função que aparece no integrando após a simplificação é contínua em t=1 (raízes e somas são contínuas), então basta substituir t=1 diretamente na expressão:
-\frac{\sqrt{1^2+3}+2}{1+1} = -\frac{\sqrt{4}+2}{2}.

Passo 7

Simplificando a expressão obtida:
-\frac{\sqrt{4}+2}{2} = -\frac{2+2}{2} = -\frac{4}{2}.

Resposta

-2

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