Exercício 4. Fixe uma orientão de V^3. Dada uma base ortonormal positiva (i, j, k), mostre que:
& i wed>= j=k, j wed>= k=i, k wed>= i=j e & j wed>= i=-k, k wed>= j=-i, i wed>= k=-j

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um espaço tridimensional, V^3 , com uma orientação fixa. E dentro desse espaço, temos uma base ortonormal positiva composta pelos vetores i , j e k . O objetivo é mostrar como esses vetores se relacionam através do produto vetorial (representado por wed>= ). Basicamente, queremos provar que:
i wed>= j = k, j wed>= k = i, k wed>= i = j
e
j wed>= i = -k, k wed>= j = -i, i wed>= k = -j
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base ortonormal positiva e como funciona o produto vetorial em R^3 .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ter uma base ortonormal positiva. Em R^3 , uma base (i, j, k) é chamada de ortonormal se:
  1. Cada vetor tem comprimento 1 (normalizado).
  2. Os vetores são mutuamente perpendiculares (ortogonais).
Além disso, a base é positiva ou orientada positivamente se os vetores seguem a regra da mão direita, ou seja, i wed>= j = k .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores em R^3 , denotado por wed>= , resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. As propriedades importantes do produto vetorial são:
  1. Anticomutatividade: a wed>= b = -(b wed>= a)
  2. Distribuição sobre a adição: a wed>= (b + c) = a wed>= b + a wed>= c
  3. Associação com escalares: c(a wed>= b) = (ca) wed>= b = a wed>= (cb)
No contexto de uma base ortonormal positiva, sabemos que:
i wed>= j = k
Isso significa que o produto vetorial dos dois primeiros vetores da base resulta no terceiro vetor, seguindo a orientação positiva.

Passo 4

Vamos agora verificar todas as combinações possíveis de produtos entre i , j e k , utilizando as propriedades que mencionamos.
  1. i wed>= j :
i wed>= j = k
Isso já sabemos pela definição da base positiva.
  1. j wed>= k :
    Aplicando a propriedade de cyclicidade na base positiva:
j wed>= k = i
  1. k wed>= i :
    Ainda seguindo a cyclicidade:
k wed>= i = j
Agora, vamos aplicar a anticomutatividade do produto vetorial para obter os produtos na ordem inversa:
  1. j wed>= i :
j wed>= i = -(i wed>= j) = -k
  1. k wed>= j :
k wed>= j = -(j wed>= k) = -i
  1. i wed>= k :
i wed>= k = -(k wed>= i) = -j

Resposta

Prontinho! Usando as propriedades de uma base ortonormal positiva e do produto vetorial, mostramos que:
i wed>= j = k, j wed>= k = i, k wed>= i = j
e
j wed>= i = -k, k wed>= j = -i, i wed>= k = -j

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