Exercício 4. Fixe uma orientão de
. Dada uma base ortonormal positiva
, mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um espaço tridimensional,
, com uma orientação fixa. E dentro desse espaço, temos uma base ortonormal positiva composta pelos vetores
,
e
. O objetivo é mostrar como esses vetores se relacionam através do produto vetorial (representado por
). Basicamente, queremos provar que:
e
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base ortonormal positiva e como funciona o produto vetorial em
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ter uma base ortonormal positiva. Em
, uma base
é chamada de ortonormal se:
- Cada vetor tem comprimento 1 (normalizado).
- Os vetores são mutuamente perpendiculares (ortogonais).
Além disso, a base é positiva ou orientada positivamente se os vetores seguem a regra da mão direita, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores em
, denotado por
, resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. As propriedades importantes do produto vetorial são:
- Anticomutatividade:
- Distribuição sobre a adição:
- Associação com escalares:
No contexto de uma base ortonormal positiva, sabemos que:
Isso significa que o produto vetorial dos dois primeiros vetores da base resulta no terceiro vetor, seguindo a orientação positiva.
Passo 4
Vamos agora verificar todas as combinações possíveis de produtos entre
,
e
, utilizando as propriedades que mencionamos.
-
:
Isso já sabemos pela definição da base positiva.
-
:
Aplicando a propriedade de cyclicidade na base positiva:
-
:
Ainda seguindo a cyclicidade:
Agora, vamos aplicar a anticomutatividade do produto vetorial para obter os produtos na ordem inversa:
-
:
-
:
-
:
Resposta
Prontinho! Usando as propriedades de uma base ortonormal positiva e do produto vetorial, mostramos que:
e