Exercício 8. Fixe uma orientação de V^3 e seja E uma base ortonormal positiva de V^3. Determine as coordenadas do vetor x na base E sabendo que esse vetor satisfaz as seguintes propriedades:
(1) x é ortogonal aos vetores u e v, onde [u]E=(1,1,0) e [v]E=(-1,0,1) ;
(2) |x|=raiz3;
(3) Se w é o vetor dado por [w]E=(0,1,0) e theta é o ângulo formado entre os vetores x e w, então cos theta>0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço tridimensional V^3 com uma base ortonormal positiva E . Queremos encontrar as coordenadas do vetor x nessa base, sabendo que:
  1. x é ortogonal aos vetores u e v , cujas coordenadas na base E são [u]E = (1, 1, 0) e [v]E = (-1, 0, 1) .
  2. A norma de x é |x| = raiz3 .
  3. O ângulo theta entre x e w , onde [w]E = (0, 1, 0) , satisfaz cos theta > 0 .
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como ortogonalidade, produto escalar e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa x ser ortogonal a u e v . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero. Então, temos:
x cdot u = 0 e x cdot v = 0
Vamos chamar as coordenadas de x na base E de (x, y, z) . Então:
x = (x, y, z)
Agora, vamos escrever as coordenadas de u e v :
u = (1, 1, 0) e v = (-1, 0, 1)

Passo 3

Vamos calcular os produtos escalares.
Para x cdot u = 0 :
x cdot 1 + y cdot 1 + z cdot 0 = x + y = 0 Rightarrow x = -y
Para x cdot v = 0 :
x cdot (-1) + y cdot 0 + z cdot 1 = -x + z = 0 Rightarrow z = x
Então, até agora, temos:
x = -y e z = x

Passo 4

Agora, vamos usar a condição da norma de x . Sabemos que:
|x| = raiz3 Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 3
Substituindo y = -x e z = x :
x^2 + (-x)^2 + x^2 = 3 Rightarrow x^2 + x^2 + x^2 = 3 Rightarrow 3x^2 = 3
Dividindo ambos os lados por 3:
x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1

Passo 5

Vamos encontrar y e z usando x = pm 1 :
Se x = 1 :
y = -1 e z = 1
Então, x = (1, -1, 1)
Se x = -1 :
y = 1 e z = -1
Então, x = (-1, 1, -1)

Passo 6

Agora, precisamos considerar a última condição: cos theta > 0 , onde theta é o ângulo entre x e w = (0, 1, 0) .
Sabemos que:
cos theta = x cdot w|x| |w|
Como |x| = raiz3 e |w| = 1 , então:
cos theta = yraiz3
Queremos que cos theta > 0 , então:
yraiz3 > 0 Rightarrow y > 0
Vamos verificar os casos:
  1. x = (1, -1, 1) y = -1 y < 0 → Não satisfaz.
  2. x = (-1, 1, -1) y = 1 y > 0 → Satisfaz.

Resposta

As coordenadas do vetor x na base E são (-1, 1, -1) .

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