Exercício 8. Fixe uma orientação de
e seja
uma base ortonormal positiva de
. Determine as coordenadas do vetor
na base
sabendo que esse vetor satisfaz as seguintes propriedades:
(1)
é ortogonal aos vetores
e
, onde
e
(2)
;
(3) Se
é o vetor dado por
e
é o ângulo formado entre os vetores
e
, então
.
(1)
(2)
(3) Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço tridimensional
com uma base ortonormal positiva
. Queremos encontrar as coordenadas do vetor
nessa base, sabendo que:
-
é ortogonal aos vetores e , cujas coordenadas na base são e . - A norma de
é . - O ângulo
entre e , onde , satisfaz .
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como ortogonalidade, produto escalar e norma de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ser ortogonal a
e
. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero. Então, temos:
Vamos chamar as coordenadas de
na base
de
. Então:
Agora, vamos escrever as coordenadas de
e
:
Passo 3
Vamos calcular os produtos escalares.
Para
:
Para
:
Então, até agora, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar a condição da norma de
. Sabemos que:
Substituindo
e
:
Dividindo ambos os lados por 3:
Passo 5
Vamos encontrar
e
usando
:
Se
:
Então,
Se
:
Então,
Passo 6
Agora, precisamos considerar a última condição:
, onde
é o ângulo entre
e
.
Sabemos que:
Como
e
, então:
Queremos que
, então:
Vamos verificar os casos:
-
→ → → Não satisfaz. -
→ → → Satisfaz.
Resposta
As coordenadas do vetor
na base
são
.