Exercício 10 - (GUERRA, 2016) Sejam os conjuntos A=1,4,9 e B=-2,2,3 e a relação R=(x, y) in A x B mid x+y <= 6, determine:
a) R
b) D(R)
c) Im(R)
d) R^-1, D(R^-1), Im(R^-1)

Passo 1

O enunciado nos dá os conjuntos
A = 1,4,9 e B = -2,2,3
e define a relação
R = (x,y)in Atimes B mid x+y <= 6
Vamos usar a definição de relação como subconjunto do produto cartesiano, e as definições de domínio D(R), imagem Im(R) e inversa R^-1.

Passo 2

Para determinar R, examinamos todos os pares (x,y) com xin A e yin B e só mantemos os que satisfazem x+y<=6:
  • Para x=1:
    1+(-2)=-1<=6, 1+2=3<=6, 1+3=4<=6.
  • Para x=4:
    4+(-2)=2<=6, 4+2=6<=6, 4+3=7>6 (descarta).
  • Para x=9:
    9+(-2)=7>6, 9+2=11>6, 9+3=12>6 (todos descartados).
    Logo,
R = (1,-2),,(1,2),,(1,3),,(4,-2),,(4,2)

Passo 3

O domínio D(R) é o conjunto de todos os x que aparecem em algum par de R, e a imagem Im(R) é o conjunto de todos os y que aparecem em algum par de R. Assim,
D(R) = 1,4, Im(R) = -2,2,3

Passo 4

A relação inversa é
R^-1 = (y,x)mid (x,y)in R = (-2,1),,(2,1),,(3,1),,(-2,4),,(2,4)
Dela segue
D(R^-1) = -2,2,3, Im(R^-1) = 1,4

Resposta

a) R = (1,-2),,(1,2),,(1,3),,(4,-2),,(4,2)
b) D(R) = 1,4
c) Im(R) = -2,2,3
d) R^-1 = (-2,1),,(2,1),,(3,1),,(-2,4),,(2,4),
D(R^-1) = -2,2,3,
Im(R^-1) = 1,4

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