(f) Calcule a área da parte da superfície esférica
que se encontra dentro do cone
.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte da esfera unitária definida por
que está dentro do cone
. O conteúdo é cálculo de área de superfície em coordenadas esféricas. Vamos usar a parametrização esférica e integrar o elemento de área num domínio limitado por uma condição angular.
Passo 2
Em coordenadas esféricas convencionais, cada ponto da esfera unitária é dado por
com
variando de
(polo norte) até
(polo sul) e
de
a
. A condição do cone
vira
Passo 3
O elemento de área na esfera unitária é
Precisamos integrar
de
a
e
de
a
.
Passo 4
Escrevendo a integral de área:
Como
, temos
Passo 5
Substituindo de volta,