(f) Calcule a área da parte da superfície esférica x^2+y^2+z^2=1 que se encontra dentro do cone z >= raizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da esfera unitária definida por x^2+y^2+z^2=1 que está dentro do cone z>=raizx^2+y^2. O conteúdo é cálculo de área de superfície em coordenadas esféricas. Vamos usar a parametrização esférica e integrar o elemento de área num domínio limitado por uma condição angular.

Passo 2

Em coordenadas esféricas convencionais, cada ponto da esfera unitária é dado por
x=sinphicostheta, y=sinphisintheta, z=cosphi,
com phi variando de 0 (polo norte) até pi (polo sul) e theta de 0 a 2pi. A condição do cone z>=raizx^2+y^2 vira
cosphi >= sinphi Longrightarrow tanphi <= 1 Longrightarrow phi <= pi4

Passo 3

O elemento de área na esfera unitária é
dS = sinphi,dphi,dtheta
Precisamos integrar phi de 0 a pi/4 e theta de 0 a 2pi.

Passo 4

Escrevendo a integral de área:
Área =integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi/4sinphi,dphi,dtheta =2piintegral0^pi/4sinphi,dphi Á
Como integralsinphi,dphi=-cosphi, temos
integral0^pi/4sinphi,dphi = l[-cosphir]0^pi/4 =1-cos!l(tfracpi4r) =1-raiz22

Passo 5

Substituindo de volta,
Área =2pil(1-raiz22r) Á

Resposta

2pil(1-raiz22r)

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