Exercício 0.8 Suponha que você receba uma oferta para trabalhar por apenas um mês. Qual das seguintes formas de pagamento é a mais vantajosa?
i) Um milhão de dólares no fim do mês.
ii) Um centavo de dólar no primeiro dia do mês, dois centavos no segundo dia, quatro centavos no terceiro dia, e, em geral, 2^{n+1} centavos de dólar no enésimo dia.

Passo 1

O enunciado dá duas opções de pagamento para trabalhar por um mês e pede que a gente escolha a mais vantajosa. Informações relevantes que temos:
  • Opção (i): receber \$1{,}000{,}000 no fim do mês.
  • Opção (ii): receber centavos que dobram a cada dia, com exemplos dados: 1 centavo no dia 1, 2 centavos no dia 2, 4 centavos no dia 3. Vou usar a forma geral coerente com esses exemplos: receber 2^{n-1} centavos no enésimo dia (isso faz com que o dia 1 seja 2^{0}=1 centavo, dia 2 seja 2^{1}=2 centavos, etc.).
  • O mês tem N dias (o enunciado não fixa N); portanto vamos primeiro obter a expressão do total recebido na opção (ii) em função de N e depois comparar com \$1{,}000{,}000.

Passo 2

Entendendo a sequência que aparece na opção (ii): é uma progressão geométrica (PG) — ou seja, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão fixa. Aqui: primeiro termo a=1 centavo e razão r=2. Uma PG com primeiro termo a e razão r tem termos a, ar, ar^2,\dots. No nosso caso o enésimo termo (em centavos) é
a_n = 2^{n-1}.
Explicando a fórmula da soma de uma PG (muito útil na prova): se somamos N termos S_N = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{N-1}, multiplicamos por r e subtraímos para eliminar termos repetidos:
rS_N - S_N = ar^N - a,
logo
S_N = a\frac{r^N-1}{r-1}.
No nosso caso a=1 (centavo) e r=2, então a soma simplifica bastante. Esta dedução é importante — memorize-a: multiplicar por r e subtrair é o truque clássico.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso (soma dos N dias, em centavos):
S_N \;=\; 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{N-1} \;=\; \frac{2^N-1}{2-1} \;=\; 2^N - 1
(isto é o total em centavos). Para converter para dólares dividimos por 100, então o total em dólares recebido pela opção (ii) em N dias é
D_N \;=\; \frac{2^N-1}{100}\\ \text{dólares}.ó

Passo 4

Agora comparamos D_N com \$1{,}000{,}000. Queremos saber para quais N vale
\frac{2^N-1}{100} \ge 1{,}000{,}000.
Multiplicando por 100:
2^N - 1 \ge 100{,}000{,}000 \quad\Rightarrow\quad 2^N \ge 100{,}000{,}001.
Para resolver isso sem calculadora, usamos potências de 2 conhecidas ou calculamos a vizinhança:
  • 2^{26} = 67{,}108{,}864 (menor que 100{,}000{,}001).
  • 2^{27} = 134{,}217{,}728 (maior que 100{,}000{,}001).
    Portanto o menor N que satisfaz a desigualdade é N=27. Ou seja, com 27 dias de pagamentos dobrando, o total ultrapassa \$1{,}000{,}000.

Passo 5

Interpretação prática: a maioria dos meses tem ao menos 27 dias (meses normais têm 28, 29, 30 ou 31 dias). Logo, na prática, a opção (ii) normalmente vence. Para fixar a escala, vamos calcular alguns valores concretos (mostrando os passos para você saber fazer na prova):
  • Para N=26 dias:
2^{26}-1 = 67{,}108{,}863\\ \text{centavos} \quad\Rightarrow\quad D_{26} = \frac{67{,}108{,}863}{100} = 671{,}088,63\\ \text{dólares},ó
que é menor que \$1{,}000{,}000.
  • Para N=27 dias:
2^{27}-1 = 134{,}217{,}727\\ \text{centavos} \quad\Rightarrow\quad D_{27} = \frac{134{,}217{,}727}{100} = 1{,}342{,}177,27\\ \text{dólares},ó
que já é maior que \$1{,}000{,}000.
  • Para um mês de 30 dias (exemplo comum):
2^{30}-1 = 1{,}073{,}741{,}823\\ \text{centavos} \quad\Rightarrow\quad D_{30} = \frac{1{,}073{,}741{,}823}{100} = 10{,}737{,}418,23\\ \text{dólares}.ó
Ou seja, em 30 dias você receberia cerca de \$10{,}737{,}418,23 na opção (ii), muito mais que \$1{,}000{,}000.

Passo 6

Conclusão prática e dica para a prova: calcule a soma em função de N usando a soma da PG ( 2^N-1 centavos) e converta para dólares. Compare com \$1{,}000{,}000. Se o mês tiver pelo menos 27 dias, a opção de dobrar centavos vence — e como praticamente todos os meses têm pelo menos 27 dias, a opção (ii) é a escolha correta na grande maioria dos casos. Se por alguma razão o mês fosse muito curto (até 26 dias), aí a opção (i) poderia ser melhor — então sempre verifique N.

Resposta

Opção (ii) é a mais vantajosa. Para exemplo de 30 dias, a opção (ii) totaliza \$10{,}737{,}418,23, muito maior que \$1{,}000{,}000.

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