Exercício 0.8 Suponha que você receba uma oferta para trabalhar por apenas um mês. Qual das seguintes formas de pagamento é a mais vantajosa?
i) Um milhão de dólares no fim do mês.
ii) Um centavo de dólar no primeiro dia do mês, dois centavos no segundo dia, quatro centavos no terceiro dia, e, em geral,
centavos de dólar no enésimo dia.
i) Um milhão de dólares no fim do mês.
ii) Um centavo de dólar no primeiro dia do mês, dois centavos no segundo dia, quatro centavos no terceiro dia, e, em geral,
Passo 1
O enunciado dá duas opções de pagamento para trabalhar por um mês e pede que a gente escolha a mais vantajosa. Informações relevantes que temos:
- Opção (i): receber
no fim do mês. - Opção (ii): receber centavos que dobram a cada dia, com exemplos dados: 1 centavo no dia 1, 2 centavos no dia 2, 4 centavos no dia 3. Vou usar a forma geral coerente com esses exemplos: receber
centavos no enésimo dia (isso faz com que o dia 1 seja centavo, dia 2 seja centavos, etc.). - O mês tem
dias (o enunciado não fixa ); portanto vamos primeiro obter a expressão do total recebido na opção (ii) em função de e depois comparar com .
Passo 2
Entendendo a sequência que aparece na opção (ii): é uma progressão geométrica (PG) — ou seja, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão fixa. Aqui: primeiro termo
centavo e razão
. Uma PG com primeiro termo
e razão
tem termos
. No nosso caso o enésimo termo (em centavos) é
Explicando a fórmula da soma de uma PG (muito útil na prova): se somamos
termos
, multiplicamos por
e subtraímos para eliminar termos repetidos:
logo
No nosso caso
(centavo) e
, então a soma simplifica bastante. Esta dedução é importante — memorize-a: multiplicar por
e subtrair é o truque clássico.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso (soma dos
dias, em centavos):
(isto é o total em centavos). Para converter para dólares dividimos por
, então o total em dólares recebido pela opção (ii) em
dias é
Passo 4
Agora comparamos
com
. Queremos saber para quais
vale
Multiplicando por
:
Para resolver isso sem calculadora, usamos potências de 2 conhecidas ou calculamos a vizinhança:
-
(menor que ). -
(maior que ).
Portanto o menorque satisfaz a desigualdade é . Ou seja, com dias de pagamentos dobrando, o total ultrapassa .
Passo 5
Interpretação prática: a maioria dos meses tem ao menos
dias (meses normais têm 28, 29, 30 ou 31 dias). Logo, na prática, a opção (ii) normalmente vence. Para fixar a escala, vamos calcular alguns valores concretos (mostrando os passos para você saber fazer na prova):
- Para
dias:
que é menor que
.
- Para
dias:
que já é maior que
.
- Para um mês de
dias (exemplo comum):
Ou seja, em 30 dias você receberia cerca de
na opção (ii), muito mais que
.
Passo 6
Conclusão prática e dica para a prova: calcule a soma em função de
usando a soma da PG (
centavos) e converta para dólares. Compare com
. Se o mês tiver pelo menos
dias, a opção de dobrar centavos vence — e como praticamente todos os meses têm pelo menos 27 dias, a opção (ii) é a escolha correta na grande maioria dos casos. Se por alguma razão o mês fosse muito curto (até 26 dias), aí a opção (i) poderia ser melhor — então sempre verifique
.
Resposta
Opção (ii) é a mais vantajosa. Para exemplo de
dias, a opção (ii) totaliza
, muito maior que
.