Exercício 10 - Uma matriz quadrada A=[ai j]n times n é chamada de triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, ou seja, quando ai j=0 para todo i>j,
i, j=1, ldots, n.
(a) Dê um exemplo de matriz triangular superior de ordem 4 times 4.
(b) A soma de duas matrizes quadradas triangulares superior de mesma ordem é, também, uma matriz triangular superior? Justifique.
(c) Se A é uma matriz quadrada triangular superior, então alpha A é triangular superior para todo alpha in R ? Justifique.

Passo 1

O enunciado trata de matrizes quadradas A=[aij]ntimes n tais que todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é,
aij=0sempre que i>j
Vamos usar essa propriedade para construir um exemplo em ordem 4times4 e depois mostrar que a soma e a multiplicação por escalar preservam a triangularidade superior.

Passo 2

Para dar um exemplo em ordem 4times4, basta escolher números quaisquer na diagonal e acima dela, colocando zeros abaixo. Por exemplo, considere a matriz A abaixo:
A = 1 & 2 & -1 & 0 0 & 3 & 4 & 5 0 & 0 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 7
Aqui vemos que toda entrada com i>j é zero, logo A é triangular superior.

Passo 3

Sejam A=[aij] e B=[bij] duas matrizes quadradas triangulares superiores de mesma ordem. Definimos C = A + B.
O elemento genérico de C é
cij = aij + bij
Como A e B são triangulares superiores, para i>j temos aij=0 e bij=0. Portanto
cij = 0+0 = 0quando i>j,
o que mostra que C também é triangular superior.

Passo 4

Seja A=[aij] uma matriz triangular superior e alphainR. A matriz alpha A tem elementos
(alpha A)ij = alpha,aij
Novamente, se i>j então aij=0, logo
(alpha A)ij = alphacdot 0 = 0quando i>j
Isso prova que alpha A permanece triangular superior para todo escalar alpha.

Resposta

(a) Um exemplo é
1 & 2 & -1 & 0 0 & 3 & 4 & 5 0 & 0 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 7
(b) Sim. Se A e B são triangulares superiores, então (A+B)ij=aij+bij=0 para i>j, logo A+B é triangular superior.
(c) Sim. Se A é triangular superior, então (alpha A)ij=alpha,aij=0 sempre que i>j, logo alpha A é triangular superior.

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