Exercício 10 - Uma matriz quadrada é chamada de triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, ou seja, quando para todo , .
(a) Dê um exemplo de matriz triangular superior de ordem .
(b) A soma de duas matrizes quadradas triangulares superior de mesma ordem é, também, uma matriz triangular superior? Justifique.
(c) Se é uma matriz quadrada triangular superior, então é triangular superior para todo ? Justifique.
Passo 1
O enunciado trata de matrizes quadradas tais que todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é,
Vamos usar essa propriedade para construir um exemplo em ordem e depois mostrar que a soma e a multiplicação por escalar preservam a triangularidade superior.
Passo 2
Para dar um exemplo em ordem , basta escolher números quaisquer na diagonal e acima dela, colocando zeros abaixo. Por exemplo, considere a matriz abaixo:
Aqui vemos que toda entrada com i>j é zero, logo A é triangular superior.
Passo 3
Sejam A=[aij] e B=[bij] duas matrizes quadradas triangulares superiores de mesma ordem. Definimos C = A + B.
O elemento genérico de C é
cij = aij + bij
Como A e B são triangulares superiores, para i>j temos aij=0 e bij=0. Portanto
cij = 0+0 = 0quando i>j,
o que mostra que C também é triangular superior.
Passo 4
Seja A=[aij] uma matriz triangular superior e alphainR. A matriz alpha A tem elementos
(alpha A)ij = alpha,aij
Novamente, se i>j então aij=0, logo
(alpha A)ij = alphacdot 0 = 0quando i>j
Isso prova que alpha A permanece triangular superior para todo escalar alpha.
(b) Sim. Se A e B são triangulares superiores, então (A+B)ij=aij+bij=0 para i>j, logo A+B é triangular superior.
(c) Sim. Se A é triangular superior, então (alpha A)ij=alpha,aij=0 sempre que i>j, logo alpha A é triangular superior.