Exercício 11 - Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando cada resposta.
Se duas matrizes comutam entre si, então ambas são quadradas e de mesma ordem.

Passo 1

O enunciado pede para analisar se “duas matrizes que comutam entre si são necessariamente quadradas e de mesma ordem”. Aqui o conteúdo envolve definição de produto de matrizes e a condição de comutatividade AB=BA. Para que possamos falar em AB e BA, ambos os produtos devem existir.

Passo 2

Suponha A é de tamanho mtimes n e B é de tamanho ptimes q.
– Para AB existir, é necessário n=p.
– Para BA existir, é necessário q=m.

Passo 3

Das condições acima segue que B tem tamanho ntimes m. Então
AB é (mtimes n)cdot(ntimes m)=mtimes m, é
BA é (ntimes m)cdot(mtimes n)=ntimes n é

Passo 4

Para que AB e BA sejam iguais como matrizes, é preciso que tenham a mesma dimensão, isto é m=m e m=n. Logo m=n e ambas as matrizes são quadradas de ordem n.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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