Exercício 11 - Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando cada resposta.
Se duas matrizes comutam entre si, então ambas são quadradas e de mesma ordem.
Se duas matrizes comutam entre si, então ambas são quadradas e de mesma ordem.
Passo 1
O enunciado pede para analisar se “duas matrizes que comutam entre si são necessariamente quadradas e de mesma ordem”. Aqui o conteúdo envolve definição de produto de matrizes e a condição de comutatividade
. Para que possamos falar em
e
, ambos os produtos devem existir.
Passo 2
Suponha
é de tamanho
e
é de tamanho
.
– Para existir, é necessário
.
– Para existir, é necessário
.
– Para
– Para
Passo 3
Das condições acima segue que
tem tamanho
. Então
Passo 4
Para que
e
sejam iguais como matrizes, é preciso que tenham a mesma dimensão, isto é
e
. Logo
e ambas as matrizes são quadradas de ordem
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.